Trích:
Nguyên văn bởi tanggo  Bài 2:
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1} \le 3$$ |
-------------------------------------
Ta có BĐT quen thuộc:
\[\frac{{1 + {a^k}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} + \frac{{1 + {b^k}}}{{1 + {b^k} + {b^{2k}}}} + \frac{{1 + {c^k}}}{{1 + {c^k} + {c^{2k}}}} \le 2\]
thật vậy:
\[ineq \Leftrightarrow \sum {\frac{{{a^{2k}}}}{{1 + {a^k} + {a^{2k}}}} \ge 1} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{a^k}}} + \frac{1}{{{a^{2k}}}}}}} \ge 1\]
BĐT cuối là BĐT vacs rồi.
----------------------------
Dễ dàng ta chứng minh được BĐT sau:
\[\frac{1}{{{a^2} - a + 1}} \le \frac{3}{2}.\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + {a^2} + {a^4}}}\]
\[ \Rightarrow LHS \le \frac{3}{2}\sum {\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + {a^2} + {a^4}}}} \le 3\]
BĐT được CM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]