Trích:
Nguyên văn bởi nicksterse  Thứ nhất, bài số học là $2^{n+2}*(2^{n}-1)-8*3^{n}+1 $, và n=3, n=5 là hai nghiệm, chứ không phải vô nghiệm.
Thứ hai ,bài số 6 không phải là "ta có thể làm cho số kẹo của mỗi học sinh bằng nhau" mà là thượng đế chọn tùy ý một trong những em có bạn ngồi ngay bên phải ít kẹo hơn. Chứng minh sau hữu hạn lần sẽ có số kẹo các bạn bằng nhau. Không phải "ta có thể làm", mà là "luôn luôn có". Chỉ ra một phương án không phải là ý tưởng của bài toán. Để hiểu ý tưởng bài toán khó thế nào, xét trường hợp các bạn chỉ có t hoặc t+1 viên kẹo.
Chém gió vừa thôi nhé các bác. |
Ừm, nhầm đề thôi. Dùng ý tưởng tương tự.
Ở đây tôi giả sử rằng mỗi lần chỉ chuyển 1 cái kẹo, nếu không giới hạn số kẹo được chuyển thì bài toán ko đúng.
Kết quả 1: Với trạng thái các học sinh giữ số kẹo không bằng nhau. Giử sử $m $ là min số kẹo và $M $ là max số kẹo mà các học sinh giữ. Ta sẽ chứng minh rằng: sau một số bước chuyển kẹo thì hoặc số học sinh giữ $m $ cái kẹo giảm đi 1 hoặc số học sinh giữ $M $ cái kẹo giảm đi $1 $. Với chú ý là $M-m\ge 2 $
Chứng minh:
Giử sử là số học sinh giữ $m $ cái kẹo và số học sinh giữ $M $ cái kẹo không giảm đi, khi đó ta có nhận xét:
Nhận xét 1: vị trí của các học sinh giữ $m $ cái kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ. Vị trí của các học sinh giữ $M $ cái kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.
Chứng minh nhận xét 1: Nếu các vị trí của các học sinh giữ $m $ kẹo và $M $ kẹo không thay đổi thì ta chỉ có thể thực hiện được hữu hạn bước, bởi vì các kẹo sẽ bị dồn phía ngược chiều kim đồng hồ. Nhưng nó lại bị chặn bởi một học sinh giữ $m $ kẹo nào đó mà người này không nhận được kẹo. Vậy có nghĩa là học sinh giữ m kẹo nào đó sẽ nhận được 1 kẹo, nhưng do giả thiết là số học sinh giữ $m $ kẹo không đổi, nên học sinh bên trái học sinh này giữ $m+1 $ kẹo, sau khi chuyển kẹo sẽ có người bên phải $m+1 $ và người bên trái $m $, có nghĩa là vị trí của học sinh giữ $m $ kẹo di chuyển theo chiều kim đồng hồ.
Tương tự ta có vị trí của học sinh giữ $M $ kẹo di chuyển theo ngược chiều kim đồng hồ.
Hiển nhiên là sau một số hữu hạn lần thì sẽ phải xảy ra một bước chuyển kẹo của 2 học sinh kề nhau với học sinh bên trái giữ $M $ và học sinh bên phải giữ $m $, và trạng thái tiếp theo thì số học sinh giữ $m $ kẹo giảm đi $1 $, và số học sinh giữ $M $ kẹo giảm đi $1 $. kết quả 1 được chứng minh.
Từ kết quả 1 thì bài toán được được chứng minh. Và ta có sau một số hữu hạn bước ta phải có $m = M = k $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]