Trích:
Nguyên văn bởi ablrise  Cho dãy số thực $\left(x_n\right),n\geq 1$ và số $\alpha$ thỏa mãn $-1<\alpha<1$ .Chứng minh rằng nếu dãy $\left(x_{n+1}+\alpha x_n\right)$ hội tụ thì dãy $\left(x_n\right)$ hội tụ. |
$\clubsuit $ $\boxed{\alpha = 0} $ : Kết quả bài toán là hiển nhiên.
$\clubsuit \boxed{\alpha < 0} $, ta có $\lim (x_{n+1}+\alpha x_n ) = \beta $
Đặt $x_n = a_n + \dfrac{\beta}{1+\alpha} $ thì $\lim (a_{n+1}+\alpha a_n) = 0 $
$\Rightarrow \forall \varepsilon >0, \, \exist N \in \mathbb{N} $ sao cho $\forall n > N $,
$a_{n+1} + \alpha a_n < \varepsilon_0 $ (trong đó $\varepsilon_0 = \dfrac{\varepsilon (\alpha + 1)}{2}>0 $)
Áp dụng bất đẳng thức trên,
$\begin{aligned} a_{n+N} &\le (-\alpha) a_{n+N-1} + \varepsilon_0 \\ (-\alpha)a_{n+N-1} &\le (-\alpha)^2 a_{n+N-2} + \varepsilon_0 (-\alpha) \\ \vdots &\le \quad \quad \qquad \vdots \\ (-\alpha)^n a_{N+1} &\le (-\alpha)^{n+1} a_N + \varepsilon_0 (-\alpha)^n \end{aligned} $
Cộng vế theo vế, rút ra được
$\begin{aligned} a_{n+N} &\le (-\alpha)^{n+1}a_N + \varepsilon_0 \sum_{i=1}^n (-\alpha)^i \\& \le (-\alpha)^{n+1}a_N + \varepsilon_0 \sum_{i=1}^{\infty} (-\alpha)^i \\&= (-\alpha)^{n+1} a_N + \dfrac{\varepsilon}{2} \end{aligned} $
Do $-1 < \alpha < 0 $, hoàn toàn có thể chọn $n = n(\varepsilon) $ đủ lớn để $(-\alpha)^{n+1} a_N < \dfrac{\varepsilon}{2} $
$\Rightarrow a_{n+N} < \varepsilon $
Chứng minh tương tự, ta cũng được $a_{n+N} > - \varepsilon $. Từ đó suy ra $\lim a_n = 0 $ nên $x_n $ hội tụ.
$\clubsuit \boxed{\alpha > 0} $, ta có
$\begin{cases} \lim (x_{n+2}+\alpha x_{n+1}) = \beta \\ \lim (\alpha x_{n+1} + \alpha^2 x_n) = \alpha \beta \end{aligned} $
$\Rightarrow \lim (x_{n+2} - \alpha^2 x_n) = \beta (1- \alpha)
$
Bài toàn có thể giải tương tự như trong trường hợp 2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]