[namdung]

Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán đã trôi qua hơn 1 tháng. Kết quả kỳ thi có lẽ sẽ được công bố chính thức trong vài ngày tới. 42 học sinh xuất sắc nhất sẽ được chọn ra để chuẩn bị cho kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2012 tại Argentina (Vietnam TST 2012).

Tôi lập ra chủ đề này để thảo luận một số chủ đề, một số bài toán TST các năm trước và một số bài toán "tầm cỡ" TST để các bạn thí sinh hình dung được mức độ của đề thi TST, cũng như trao đổi một số vấn đề về kinh nghiệm thi.

Kỳ thi TST sẽ diễn ra trong 2 ngày, mỗi ngày làm 3 bài toán trong vòng 4 tiếng, như vậy gồm 6 bài toán thuộc các phân môn: Đại số, Hình học, Số học, Tổ hợp.

Trong đề thi Vietnam TST, mỗi ngày đều có một bài ở mức độ trung bình, một bài trung bình khó và một bài khó.

Mời các cựu TST, cựu IMO, những bạn học sinh đã trải qua kỳ thi này vào chia sẻ kinh nghiệm về cả chuyên môn lẫn tâm lý thi, chiến thuật thi với các đàn em.

Dưới đây tôi xin gửi một số bài toán "cỡ TST" để các bạn tham khảo, luyện tập.

1. (Trung bình khó) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \ge 1 $.

2. (VMO 2004, Trung bình khó) Gọi S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n viết trong hệ thập phân. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(n) trong đó n là số nguyên dương chia hết cho 2003.

3. (Trận đấu toán học Nga 2010, khó) Một quốc gia có 210 thành phố. Ban đầu giữa các thành phố chưa có đường. Người ta muốn xây dựng một số con đường một chiều nối giữa các thành phố sao cho: Nếu có đường đi từ A đến B và từ B đến C thì không có đường đi từ A đến C.Hỏi có thể xây dựng được nhiều nhất bao nhiêu đường?

4. (Canadian MOCP 2010, trung bình) Cho tam giác ABC có $A > 90^0, AB < AC $, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. M, N là trung điểm của BC và AO và D là giao điểm của MN và AC. Biết rằng $AD = \frac{1}{2}(AB+AC). $ Hãy tìm độ lớn góc A.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]