[lihoangto]

Nguyên văn bởi namdung

1. (Trung bình khó) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \ge 1 $.

Em xin làm bài này bằng cách pqr.
Đặt $ p=a+b+c , q=ab+bc+ca , r=abc $

Theo đề bài ta có

$p^2 - 2q =3 \Leftrightarrow q=\frac{p^2-3}{2} $

C/minh $(2-ab)(2-bc)(2-ca)=8-4q+2pr-r^2 \geq 1 $

$\Leftrightarrow 7 \geq \frac{4(p^2-3)}{2}+r^2-2pr $

$\Leftrightarrow 13 \geq 2p^2+r^2-2pr (*) $

$\Leftrightarrow 13 \geq (p-r)^2+p^2 $

Theo bđt Schur:$ r \geq \frac{p(4q-p^2)}{9} = \frac{p(p^2-6)}{9} $

$\Rightarrow VT(*) \leq [p-\frac{p(p^2-6)}{9}]^2 +p^2 $

Cần c/m $[p-\frac{p(p^2-6)}{9}]^2 +p^2 \leq 13 $

$\Leftrightarrow p^6-30p^4+306p^2-1053 \leq 0 $

$\Leftrightarrow (p^2-9)(p^4-21p^2+117) \leq 0 $ đúng vì $ p^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)=9 $ và $p^4-21p^2+117 > 0 $.

Vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]