[fatalhans]

Nguyên văn bởi fatalhans

Cho $a$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố thỏa $p\nmid a$. Khi đó với mỗi $i \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ thì tồn tại duy nhất $j \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ sao cho $i.j \equiv a{\rm{ }}({\rm{ }}mod{\rm{ }}p{\rm{ }})$

1.Ta đi xét phương trình đồng dư : $ix \equiv a{\rm{ }}(\bmod p)$
với i,a,p được xác định như đề bài . Ta thấy rằng phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi $1 = gcd(a,p)|a$ và dĩ nhiên điều này luôn đúng nên với mỗi $i \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ thì phương trình trên luôn tồn tại nghiệm.
2. Giả sử tồn tại \[i,j,j' \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}\] sao cho
\[ij \equiv ij'{\rm{ }}(\bmod p) \to j \equiv j'{\rm{ }}(modp)\]
Dẫn đến điều vô lí nên ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]