Đây là cách làm của mình, không biết đúng hay sai nữa
Thay $y=0$ được $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x) \forall x\epsilon \mathbb{R}$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-y.f(f^{2}(x))-xf(f^{2}(y))$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-f(y)f^{2}(x)-f(x)f^{2}(y)$
$\Rightarrow y.f(f^{2}(x))+xf(f^{2}(y))=f(y)f^{2}(x)+f(x)f^{2}( y)$(1)
Từ $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x)$ suy ra $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} \forall x\neq 0$, thay lại vào (1) ta được:
$\frac{y}{x}.f^{3}(x)+\frac{x}{y}.f^{3}(y)=f(y)f^{ 2}(x)+f(x)f^{2}(y) \forall x,y \neq0$
$\Leftrightarrow f^{2}(x).[\frac{y}{x}.f(x)-f(y)]+f^{2}(y).[\frac{x}{y}.f(y)-f(x)]=0$
$\Leftrightarrow [y.f(x)-xf(y)].[\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}]=0 \forall x,y \neq0$
*Xét trường hợp $y.f(x)-xf(y)=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}=a=const \forall x,y \neq0$
suy ra $f(x)=ax$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ $ \Rightarrow f(x)=2013x \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa mãn
*Xét trường hợp $\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}=0$ $\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{x}=\frac{f^{2}(y)}{y}=b \forall x,y \neq0$, suy ra $f^{2}(x)=bx$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ hoặc $a=-2013$
suy ra $f(x)=2013\sqrt{x}$ hoặc $f(x)=-2013\sqrt{x}\forall x>0$, thử lại thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)=2013x$ $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ là nghiệm hàm duy nhất
