Tiến đến kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam 2016

**namdung** · 03-02-2016, 05:41 PM

Xin chào các bạn,

Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán.

Năm nay lực lượng tham dự TST đông đảo nhất đến từ vùng Bắc Trung Bộ: Thanh Hóa (8), Nghệ An (7), Hà Tĩnh (4), ĐH Vinh và Quảng Bình mỗi đơn vị 1. Ở vùng Bắc bộ năm nay đánh dấu sự trở lại bất ngờ của Hà Nội với 7 đại diện, còn lại là các đơn vị như ĐHQG, ĐHSP, Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Nam Định ... Các tỉnh phía Nam trở vào chỉ có 7 suất sự TST gồm PTNK (2), Đà Nẵng (2), Quảng Nam (1), Bình Định (1), Vũng Tàu (1).

Để tạo điều kiện cho các bạn học sinh tiếp xúc với mức độ đề toán TST, rèn kỹ năng giải các bài toán khó hơn mức VMO, đặc biệt là rèn khả năng làm việc ở cường độ cao trong 4 tiếng rưỡi, chúng tôi sẽ tuyển chọn 1 số bài toán "mức độ TST" để các bạn tự làm. Lời giải, bình luận, nhận xét sẽ được gửi sau để các bạn tham khảo.

Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014.

1. Với dãy số $ x_1, x_2, ..., x_n $ các số thực ta gọi giá của dãy số đó là $ max_{1 \le i \le n}|x_1+...+x_i|$. Cho n số thực, Dave và George muốn sắp xếp các số này thành một dãy với giá thấp. Chàng trai siêng năng Dave kiểm tra tất cả các trường hợp và tìm được giá nhỏ nhất D. Chàng trai tham lam George đã sử dụng một cách khác, chọn $x_1$ sao cho $|x_1|$ nhỏ nhất, sau đó trong tất cả các số còn lại, chọn $x_2$ sao cho $|x_1 + x_2|$ nhỏ nhất và cứ thế. Tức là ở bước thứ i, George sẽ chọn $x_i$ trong các số còn lại sao cho $|x_1 + x_2 +...+ x_i|$ nhỏ nhất. Ở mỗi bước nếu có vài số cho kết quả như nhau thì George chọn ngẫu nhiên. Cuối cùng anh ấy thu được giá G.

Tìm hằng số c nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương n, với mọi bộ n số thực và với mọi dãy số mà George có thể thu được, các kết quả thu được thỏa mãn bất đẳng thức $ G \le cD$.
(Grudia đề nghị)

2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên.
(Hà Lan đề nghị)

3. Xét tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện sau: với mọi số thực $ x $ và $ y $ ta có $|y^2 – P(x)| \le 2|x| $ khi và chỉ khi $ |x^2 – P(y)| \le 2|y|$. Tìm tất cả các giá trị có thể của $P(0)$.
(Bỉ đề nghị)

4. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ sao cho $n^2 + 4f(n) = (f(f(n))^2 $ với mọi $n$ nguyên.
(Anh đề nghị)

03-02-2016, 05:41 PM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Tiến đến kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam 2016 Xin chào các bạn, Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán. Năm nay lực lượng tham dự TST đông đảo nhất đến từ vùng Bắc Trung Bộ: Thanh Hóa (8), Nghệ An (7), Hà Tĩnh (4), ĐH Vinh và Quảng Bình mỗi đơn vị 1. Ở vùng Bắc bộ năm nay đánh dấu sự trở lại bất ngờ của Hà Nội với 7 đại diện, còn lại là các đơn vị như ĐHQG, ĐHSP, Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Nam Định ... Các tỉnh phía Nam trở vào chỉ có 7 suất sự TST gồm PTNK (2), Đà Nẵng (2), Quảng Nam (1), Bình Định (1), Vũng Tàu (1). Để tạo điều kiện cho các bạn học sinh tiếp xúc với mức độ đề toán TST, rèn kỹ năng giải các bài toán khó hơn mức VMO, đặc biệt là rèn khả năng làm việc ở cường độ cao trong 4 tiếng rưỡi, chúng tôi sẽ tuyển chọn 1 số bài toán "mức độ TST" để các bạn tự làm. Lời giải, bình luận, nhận xét sẽ được gửi sau để các bạn tham khảo. Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014. 1. Với dãy số $ x_1, x_2, ..., x_n $ các số thực ta gọi giá của dãy số đó là $ max_{1 \le i \le n}\|x_1+...+x_i\|$. Cho n số thực, Dave và George muốn sắp xếp các số này thành một dãy với giá thấp. Chàng trai siêng năng Dave kiểm tra tất cả các trường hợp và tìm được giá nhỏ nhất D. Chàng trai tham lam George đã sử dụng một cách khác, chọn $x_1$ sao cho $\|x_1\|$ nhỏ nhất, sau đó trong tất cả các số còn lại, chọn $x_2$ sao cho $\|x_1 + x_2\|$ nhỏ nhất và cứ thế. Tức là ở bước thứ i, George sẽ chọn $x_i$ trong các số còn lại sao cho $\|x_1 + x_2 +...+ x_i\|$ nhỏ nhất. Ở mỗi bước nếu có vài số cho kết quả như nhau thì George chọn ngẫu nhiên. Cuối cùng anh ấy thu được giá G. Tìm hằng số c nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương n, với mọi bộ n số thực và với mọi dãy số mà George có thể thu được, các kết quả thu được thỏa mãn bất đẳng thức $ G \le cD$. (Grudia đề nghị) 2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên. (Hà Lan đề nghị) 3. Xét tất cả các đa thức $ P(x) $ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện sau: với mọi số thực $ x $ và $ y $ ta có $\|y^2 – P(x)\| \le 2\|x\| $ khi và chỉ khi $ \|x^2 – P(y)\| \le 2\|y\|$. Tìm tất cả các giá trị có thể của $P(0)$. (Bỉ đề nghị) 4. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ sao cho $n^2 + 4f(n) = (f(f(n))^2 $ với mọi $n$ nguyên. (Anh đề nghị)