Một bài không dễ xơi

Vodka · 09-11-2007, 10:09 PM

Cmr mọi nhóm có cấp nhỏ hơn 60 đều là giải được

tvdaikg · 19-05-2008, 02:43 AM

Mắc nợ chú 2M lâu lắm rồi nay chịu khó gõ lời giải bài toán này.

Nếu dùng "đao to" là định lý Burnside thì bài toán này sẽ được giải nhanh.

Sau đây tôi xin trình bày cách giải có dùng một thứ của riêng tôi (trong tầm hiểu biết hạn hẹp tôi nghĩ vậy không biết nó được ai đó làm trước tôi hay không nữa)

MĐ 1. (Dựa theo An Introduction to the Theory of Group của Joseph J. Rotman)
Cho $ H \leq G $ hữu hạn. Đặt $ \displaystyle H_G=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} $ thì $ H_G\unlhd G $ và $ G/H_G $ có thể nhúng vào $ S_X $.
Trong đó, $ X=G/H $ là tập các lớp ghép trái của $ H $ trong $ G $ và $ S_X $ là nhóm các song ánh từ $X $ đến $ X $.

Áp dụng MĐ 1 tôi suy ra MĐ sau:

MĐ 2. (một MĐ nhỏ mà tôi nghĩ là của tôi! Nếu nó có trùng với kết quả của ai xin mọi người báo dùm, rất cảm ơn!)
N\ees u $ H \leq G, $ hh, $ H $ giải được và $ [G:H] = m \leq 4 $ thì $ G $ cũng giải được.

Chứng minh. Vì $ H $ giải được nênn $ H_G\leq H $ cũng giải được.
Mặt khác, $ G/H_{G}\cong K \leq S_{m} $ và $ S_m $ giải được (do $ m \leq 4 $) nênn $ G/H_{G} $ giải được.
Do $ H_G\unlhd G $, $ H_G $ và $ G/H_{G} $ giải được nên $ G $ giải được.

1) Các nhóm cấp 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 4, 8, 16, 32, 9, 27, 25, 49 rõ ràng là giải được (vì chúng là các p-nhóm).

2) Các nhóm cấp 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 34, 36, 38, 39, 44, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 57, 58.

Các nhóm loại này đều có p-nhóm con Sylow mà chỉ số của nó nhỏ hơn hoặc bằng 4 nên theo MĐ 2 chúng giải được.

3) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 40 hoặc 45 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 5 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 8 hoặc 9).
Do đó G giải được.

4) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 35 hoặc 42 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 7 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 5 hoặc 6).
Do đó G giải được.

5) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 55 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 11 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 5).
Do đó G giải được.

6) Gọi $ n_p $ là số nhóm con Sylow của G có cấp 30 thì $ n_5 =1 ; 6 $ và $ n_3 =1 ; 10 $.
Vì hai nhóm con cấp 5 (nhóm cyclic) của G chỉ có duy nhất 1 phần tử chung là phần tử đơn vị, và hai nhóm con cấp 3 cũng vậy, nên nếu $ n_5 = 6 $ và $ n_3 =10 $ thì G có hơn 4.6+2.10 = 44 phần tử. Mâu thuẫn! Vì vậy, G có nhóm con chuẩn tắc H mà nó có cấp 5 hoặc cấp 3. Suy ra G/H có cấp 6 hoặc cấp 15 là nhóm giải được. Do vậy, G giải được.

7) G là nhóm cấp 56 thì $ n_7 $ bằng 1 hoặc 8. Nếu G có 8 nhóm con cấp 7 thì G có 6.8 = 48 = 56-8 phần tử cấp 7. Khi này, G chỉ có duy nhất một nhóm cấp 8 (là 2-nhóm con Sylow của G).
Do đó, G có một nhóm con chuẩn tắc H có cấp 7 hoặc cấp 8 (là nhóm giải được). Ta có G/H có cấp 8 hoặc cấp 7 cũng giải được nên G giải được.

Ôi! nhẩm trong đầu thấy nhanh mà gõ ra thì mệt hết sức!
Ai quan tâm đến bài này thì kiểm tra lại dùm xem có sai sót thì báo cho tôi nhé! Cảm ơn!

09-11-2007, 10:09 PM	#1
Vodka Member Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 39 Thanks: 0 Thanked 4 Times in 4 Posts	Một bài không dễ xơi Cmr mọi nhóm có cấp nhỏ hơn 60 đều là giải được

19-05-2008, 02:43 AM	#2
tvdaikg +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 3 Thanked 13 Times in 9 Posts	Đáp lễ 2M Mắc nợ chú 2M lâu lắm rồi nay chịu khó gõ lời giải bài toán này. Nếu dùng "đao to" là định lý Burnside thì bài toán này sẽ được giải nhanh. Sau đây tôi xin trình bày cách giải có dùng một thứ của riêng tôi (trong tầm hiểu biết hạn hẹp tôi nghĩ vậy không biết nó được ai đó làm trước tôi hay không nữa) MĐ 1. (Dựa theo An Introduction to the Theory of Group của Joseph J. Rotman) Cho $ H \leq G $ hữu hạn. Đặt $ \displaystyle H_G=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} $ thì $ H_G\unlhd G $ và $ G/H_G $ có thể nhúng vào $ S_X $. Trong đó, $ X=G/H $ là tập các lớp ghép trái của $ H $ trong $ G $ và $ S_X $ là nhóm các song ánh từ $X $ đến $ X $. Áp dụng MĐ 1 tôi suy ra MĐ sau: MĐ 2. (một MĐ nhỏ mà tôi nghĩ là của tôi! Nếu nó có trùng với kết quả của ai xin mọi người báo dùm, rất cảm ơn!) N\ees u $ H \leq G, $ hh, $ H $ giải được và $ [G:H] = m \leq 4 $ thì $ G $ cũng giải được. Chứng minh. Vì $ H $ giải được nênn $ H_G\leq H $ cũng giải được. Mặt khác, $ G/H_{G}\cong K \leq S_{m} $ và $ S_m $ giải được (do $ m \leq 4 $) nênn $ G/H_{G} $ giải được. Do $ H_G\unlhd G $, $ H_G $ và $ G/H_{G} $ giải được nên $ G $ giải được. 1) Các nhóm cấp 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 4, 8, 16, 32, 9, 27, 25, 49 rõ ràng là giải được (vì chúng là các p-nhóm). 2) Các nhóm cấp 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 34, 36, 38, 39, 44, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 57, 58. Các nhóm loại này đều có p-nhóm con Sylow mà chỉ số của nó nhỏ hơn hoặc bằng 4 nên theo MĐ 2 chúng giải được. 3) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 40 hoặc 45 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 5 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 8 hoặc 9). Do đó G giải được. 4) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 35 hoặc 42 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 7 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 5 hoặc 6). Do đó G giải được. 5) Áp dụng định lý Sylow, mọi nhóm G có cấp 55 đều có nhóm con chuẩn tắc H cấp 11 (giải được) và G/H là giải được (vì [G:H] bằng 5). Do đó G giải được. 6) Gọi $ n_p $ là số nhóm con Sylow của G có cấp 30 thì $ n_5 =1 ; 6 $ và $ n_3 =1 ; 10 $. Vì hai nhóm con cấp 5 (nhóm cyclic) của G chỉ có duy nhất 1 phần tử chung là phần tử đơn vị, và hai nhóm con cấp 3 cũng vậy, nên nếu $ n_5 = 6 $ và $ n_3 =10 $ thì G có hơn 4.6+2.10 = 44 phần tử. Mâu thuẫn! Vì vậy, G có nhóm con chuẩn tắc H mà nó có cấp 5 hoặc cấp 3. Suy ra G/H có cấp 6 hoặc cấp 15 là nhóm giải được. Do vậy, G giải được. 7) G là nhóm cấp 56 thì $ n_7 $ bằng 1 hoặc 8. Nếu G có 8 nhóm con cấp 7 thì G có 6.8 = 48 = 56-8 phần tử cấp 7. Khi này, G chỉ có duy nhất một nhóm cấp 8 (là 2-nhóm con Sylow của G). Do đó, G có một nhóm con chuẩn tắc H có cấp 7 hoặc cấp 8 (là nhóm giải được). Ta có G/H có cấp 8 hoặc cấp 7 cũng giải được nên G giải được. Ôi! nhẩm trong đầu thấy nhanh mà gõ ra thì mệt hết sức! Ai quan tâm đến bài này thì kiểm tra lại dùm xem có sai sót thì báo cho tôi nhé! Cảm ơn!