Arithmetic Geometry

[galmotcoh]

Thấy Forum này chủ yếu là ANT mình không phải dân trong nghề ngại tham gia quá. Nhưng thôi cứ đặt tạm 1 viên gạch với tiêu đề topic như trên, dù sao cũng họ hàng gần với nhau.

Nói chung ai có hứng thì vào trao đổi, không cần nhất thiết phải chuyên gia, bởi chuyên gia đi chăng nữa, thì cũng chỉ hiểu biết giới hạn trong 1 hướng trong cái lãnh vực rộng lớn này. Cho nên mỗi người biết 1 phần, có thể trao đổi bổ sung cho nhau.

Xin phép được tự mở đầu trước, mình vốn quan tâm tới rational points của 1 số lớp các đa tạp đại số xạ ảnh over some finite fields. Hy vọng có người có cùng hướng, cùng sở thích tiện đường trao đổi chung. Tất nhiên topic tên là Arithmetic Geometry thì còn nhiều hướng sôi động khác, cho nên topic open for everyone, nếu ai quan tâm.

Trước hết muốn tìm rational points over some fields nào đó, thì phải hiểu thế nào là điểm hữu tỷ. Thực tế thì tôi cũng chả hiểu tại sao lại đặt tên cho nó là điểm hữu tỷ nữa, chắc nó có lấy ý nghĩa lịch sử từ bài toán Fermat, hay từ các phương trình Diophantine over Q chăng?

Ta hãy thử xuất phát từ 1 bài tập trong Hartshorne chẳng hạn. Xét 1 scheme X over a field k. Let K be any field. Hãy chứng minh rằng to give a morphism $Spec K \rightarrow X $ tương đương với to give a point x với residue field $k(x) $ và 1 inclusion $k(x) \rightarrow K $. Tất nhiên lời giải bài này tầm thường. Tuy nhiên nó lại nói cho ta 1 khái niệm sơ khai về điểm (points).

Hartshorne nói ngay ở bài tập kế tiếp, 1 điểm x được gọi là rational over k nếu residue field của nó k(x) đẳng cấu với k. Như vậy ta có thể hiểu nôm na 1 rational point như là 1 điểm nhận giá trị trong some fields.

Hình học Grothendieck sẽ mang lại cho ta cách formulate toán học tốt nhất, bằng việc đưa vào hàm tử điểm. (Points-functor). Trước hình học Grothendieck bao giờ cũng fix 1 base scheme, which we denote by S. Hàm tử điểm là 1 hàm tử từ phạm trù các lược đồ over S vào phạm trù tập hợp cho bởi như sau

$\underline{Schm}/S \rightarrow \underline{Sets}, T \rightarrow X(T). $

trong đó $X(T) = Hom_S(T,X) $.

(Tất nhiên nếu thích bạn có thể làm nó thành bó (sheaf), nhưng quan điểm đó chúng ta chưa cần lúc này, nói chung thì hầu như mọi thứ nếu thích bạn có thể làm nó thành bó).

Nếu $S = Spec k $ và $T = Spec K $ thì X(T) làm thành 1 tập hợp mà ta gọi là tập các điểm hữu tỷ. Như vậy cho điểm K-điểm hữu tỷ trên X tức là cho 1 cấu xạ $Spec K \rightarrow X $.

Cách nhìn về điểm như thế này là rất có lợi, thực thế, ta hãy phân tích điểm lợi của nó qua 2 ví dụ sau.

Ví dụ 1:

Chắc chúng ta đều hiểu hình học Grothendieck khác các loại hình học khác ở vấn đề về điểm. Có rất nhiều loại điểm. Ngay từ thời Zariski đã có khái niệm điểm tổng quát (generic point). 1 điểm tổng quát trong 1 không gian topo được hiểu như là 1 điểm mà bao đóng của nó là toàn bộ không gian. Tuy nhiên cách nhìn thế này rất bất tiện cho Arithmetic Geometry. Bởi chúng ta phải dựa vào topo để deal với điểm tổng quát. Weil có ý tưởng độc đáo hơn, và đây là điểm tôi muốn phân tích ở ví dụ 1 này.

1 miền phổ dụng được hiểu như là 1 algebraically closed field $\Omega $ (characteristic = p $\geq $ 0) với vô hạn các biến. Tức với mọi trường $K $ với trường con nguyên tố là $k \subset K $ tồn tại 1 phép nhúng $K \subset \Omega $ sao cho luôn tồn tại $x_1,...,x_n \in K $ để $K = k(x_1,...,x_n) $.

Ý tưởng của Weil là fix 1 miền phổ dụng $\Omega $ như vậy, rồi định nghĩa điểm tổng quát của 1 đa tạp đại số/lược đồ over a field K (phải tới Grothendieck mới có khái niệm lược đồ) như là lớp các điểm nhận giá trị trong $\Omega $.

Tới đây bạn có thể thắc mắc, đa tạp đại số bao gồm toàn các điểm đóng thì Weil lấy đâu ra điểm tổng quát mà nhúng với chả fix. Nhưng bạn có thể yên tâm, với Weil, đa tạp đại số được hiểu theo nghĩa abstract variety như trong cuốn Hartshorne.

Do đó to deal with generic point in Arithmetic Geometry, cách làm của Weil tiện lợi hơn, ta có thể làm việc trực tiếp bằng Field theory thay vì dùng topo như cách của Zariski.

1 ví dụ thứ 2 tôi muốn nói tới, đó là khái niệm điểm hình học (geometric point). Khái niệm nhìn nhận điểm như 1 hàm tử mang lại cho ta cách nhìn điểm như là 1 cấu xạ từ phổ của 1 trường vào lược đồ, dù rằng phổ của trường là tầm thường.

Điểm hình học là điểm $\overline{x} : Spec \Omega \rightarrow X $, với $\Omega \supset K $ là separable closed field, và X is defined over K. Tính tiện lợi của điểm hình học ta sẽ bàn sau, nó không thể thiếu khi chúng ta muốn dùng Etale Topology/Cohomology, mà những công cụ này thì không thể không dùng khi muốn tìm rational points. Nhưng những vấn đề kỹ thuật này nên để ở 1 post khác.

Bài sau tôi muốn nói về Grothendieck (Pre)-Topology trên các Sites. Tức là để có 1 topo thì ta không cần 1 không gian nào cả, chỉ cần phạm trù. Tôi sẽ nhấn mạnh vào 2 Sites chính là Site Etale và Site $Et/k $. Trường hợp thứ 2 sẽ leads us quay trở lại Galois cohomology quen thuộc.

Tới đây ta có thể thắc mắc, thế này thì làm algebraic Geometry chứ Arithmetic Geometry gì. Tất nhiên, ta có thể nhắm mắt, không cần biết hình học đại số, chỉ làm với Galois cohomology, class field theory, ANT, tập trung chính vào vành giá trị (valued rings) và đường cong đại số... Nhưng lên higher dimension chúng ta sẽ bó tay nếu thiếu hình học đại số.

Còn những dự định tiếp theo thì chưa thể nghĩ ra là sẽ viết gì, tới đâu hay tới đó. Cũng có thể là tôi sẽ đi tiếp 1 một lèo thẳng sang motivic cohomology, cũng có thể sẽ rẽ ngang sang Zeta functions, mà cũng có thể topic sẽ ngỏm củ tỏi vì ở đây chỉ toàn dân ANT.

Tạm thời viên gạch đặt thế cái đã, hy vọng các bác chuyên gia có ghé ngang qua đọc thì đặt lại vài dòng tán gẫu vui vẻ cho topic em nó sống động với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[galmotcoh]

Lại tiếp tục với loạt philosophy về điểm. Lần này tôi muốn nói tới điểm theo nghĩa Grothendieck. Tổng quát, ta xét 1 scheme X bất kỳ. Ta sẽ nói X có dimX = n nếu không gian topo nền của nó |X| có dimension = n.

Triết học của Grothendieck có thể nói có 1 phần motivation xuất phát từ việc Specm(A) không đủ good, because nó không functorial. Tức là nghịch ảnh của 1 maximal ideal không nhất thiết phải maximal. Thay vào đó ta xét Spec(A). Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là scheme ngoài các điểm đóng (closed point) mà nó đồng phôi với đa tạp đại số theo nghĩa thông thường, thì nó còn 1 loại điểm nữa, tạm gọi là open points.

Với Grothendieck, điểm tổng quát là điểm mà tại đó vành địa phương bằng chính với trường hàm. Do đó điểm tổng quát sẽ có đối chiều = 1, được hiểu như là lấy chiều của scheme X trừ đi chiều Krull của vành địa phương. Ở đây ta sẽ coi vành địa phương như là vành địa phương Noether.

Cách quan niệm Spec(A), đem lại cho ta 1 cái nhìn khác về đa tạp con. Mỗi đa tạp con irreducible (bất khả quy) của X có thể được coi như là 1 điểm. Do đó nếu V là irreducible subvariety của X với codim(V) = r thì điểm tương ứng với V là 1 điểm có đối chiều = r.

Giả sử lược đồ của chúng ta đủ tốt, which means separated, of finite type of some fields, integral,.... and so on (để advoid các dummy non-example), vậy thì ta có thể nói tới tập hợp các điểm có codim = r, và định nghĩa 1 nhóm abel tự do sinh bởi chúng, say

$Z^r(X) = \oplus_{codim(x) = r} \mathbb{Z}[x] $

và gọi nó là nhóm các r-Cycles trên X. Nếu ta đưa vào quan hệ tương đương hữu tỷ thì khi modulo nó ta thu được nhóm Chow.

Tất nhiên nhóm Chow được lựa chọn làm ứng cử viên để định nghĩa motivic cohomology, bởi lý do mỗi Correspondence giữa 2 lược đồ X và Y có thể xem như là 1 element của nhóm $CH(X\times Y) $. Ở đây tôi vẫn chỉ dùng classical Chow groups, chưa nhắc gì tới higher Chow groups.

Như vậy cách quan niệm về điểm của Grothendieck sẽ mang lại cho ta view-point gì? Tất nhiên nó sẽ là 1 tổng quát hóa cho Divisors từ complex function theory.

Ta vẫn nói, ước được hiểu như tổng các điểm với hệ số nguyên. Ước chính như là Pol trừ đi Zero. Rồi modulo ước chính để thu được nhóm Divisor. Tất nhiên trong giải tích phức, điểm chỉ có ý nghĩa thuần túy là điểm.

Giờ điểm của chúng ta có dimension, mỗi điểm sẽ ứng với 1 đa tạp con, do đó nhóm Chow, đại diện cho motivic cohomology, sẽ là tổng quát hóa cho Divisors. Tất nhiên ta phải thay thế tương đương tuyến tính bằng tương đương hữu tỷ. Nhưng chúng hoàn toàn tương tự nhau với cách quan niệm về điểm của Grothendieck.

Còn gì để nói về điểm nữa không nhỉ? À hình như có nghe qua 1 số dân có nghề về hình học lượng tử (Quantum Geometry) về 1 số thứ liên quan tới Quantum Spaces, mà cụ thể là Quantum Torus (Quantum version của elliptic curves), thì thấy những loại không gian mới mẻ này, có 1 đặc tính là không có điểm, và dầy đặc kỳ dị? Hic, không sao tưởng tượng ra nổi.

Có thể dân có nghề nào đó giới thiệu sơ qua what is point for a quantum space chăng? MathMan145 học ở Vanderbilt University làm với Alain Connes có thể dạo qua đây chơi làm 1 bài có được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[galmotcoh]

Bài này nói về tương đương hữu tỷ, và tương đương đại số. Trước hết motivation xuất phát từ complex function theory. Như đã nói cho 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann chẳng hạn, ta sẽ có những thông tin gì về hàm này? Có 2 luận điểm quan trọng mà ta cần nắm được về hàm meromorphic. Thứ nhất là Pol và Zero của nó, thứ 2 là quan điểm sau:

Cho trước 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann X tương đương với việc cho 1 hàm chỉnh hình (holomorphic) từ X vào $\mathbb{P}^1 $.

Quan điểm này tuy trivial nhưng nó rất quan trọng cho việc sau này define rational equivalence. Điều này có nghĩa $\mathcal{M}^{\times}(X) = Hol(X,\mathbb{P}^1) $. Ta ký hiệu $\mathcal{M} $ cho meromorphic functions.

Vá»›i 1 compact Riemann surface, ta define $Div(X) = \oplus_P\mathbb{Z}[P]/div(\mathcal{M}^{\times}). $

Nói cách khác, 2 divisors là tương đương tuyến tính, nếu hiệu của chúng là 1 divisor đến từ meromorphic function, i.e., $div(f) = \sum ord_P(f) \cdot [P]. $ Với ord của meromorphic hiểu như là số nguyên dương m nếu nó có zero cấp m tại P, và bằng -m nếu nó có Pol cấp m tại P.

In fancy language ta có thể nói ord là 1 valuation của 1 discret valued ring. Ta có thể tổng quát lên higher dimension không? Và làm thế nào?

Đến đây ý tưởng về điểm tổng quát đóng vai trò chủ đạo. Ta thay thế điểm thông thường trong giải tích phức bằng điểm có dimension. Như vậy ta nói 2 r-cycles tương đương hữu tỷ nếu chúng khác nhau bởi tổng hữu hạn các div(rational functions). More precisely, nếu xét 1 điểm là đa tạp con bất khả quy V với codim(X,V) = r. Ta nói V ~rat 0 nếu tồn tại hữu hạn các đa tạp con W của V với codim(V,W) = 1, và các rational functions f trên W, sao cho V bằng tổng các div(f). Ở đây ord của f được định nghĩa thông qua length của module O_W/(f) over O_W.

Cách nhìn rational equivalence thế này rất tiện lợi. Tuy nhiên vẫn còn cách khác cũng không kém quan trọng, bằng việc khai thác luận điểm thứ 2 như đã nhắc ở trên về meromorphic functions.

Xét X là 1 scheme với product $X \times \mathbb{P}^1 $. Projection on the first factor will gives us then a dominant map from V to $\mathbb{P}^1 $ (dominant có nghĩa là closure của image sẽ bằng toàn không gian), ở đây V là prime cycle nào đó. Như đã nhắc tới ở trên to give a morphism vào $\mathbb{P}^1 $ tương đương với to give a rational function trong $\mathcal{M}^{\times}(V) $. Do đó ta có thể coi div(f) như là hiệu của nghịch ảnh của 0 và nghịch ảnh của điểm vô hạn. Lưu ý nghịch ảnh ở đây hiểu theo nghĩa lược đồ, which means là chúng ta lấy tích thớ dọc theo $\mathbb{P}^1 $ với V.

Ta sẽ nói 2 cycle tương đương đại số (algebraic equivalenc) nếu chúng thỏa mãn những điều ta nói ở trên với rational equivalence nhưng $\mathbb{P}^1 $ được thay thế bởi 1 đường cong đại số trơn C liên thông bất kỳ, và 2 điểm 0 và vô hạn được thay thế bởi 2 điểm a,b bất kỳ trên C.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[galmotcoh]

Tạo 2 projects song song với nhau:

[Only registered and activated users can see links. ]

Topic HHDS bên DDVL đã dần chuyển hướng sang Grothendieck Topology với mục đích chính là đưa vào l-adic và crystalline cohomology. Topic bên này chỉ dành cho Arithmetic Geometry nên những phần basic knowledge sẽ được post bên kia.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Không thấy anh galmotcoh viết tiếp nhỉ? Đọc chưa hiểu gì, nhưng đôi khi nản nản vào đọc lại có thêm máu lửa để học
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Đọc mà không hiểu thì đọc làm gì cho mất thì giờ? Chú muốn học HHĐS thì nên đọc mấy topic này [Only registered and activated users can see links. ]

Bạn Akhil Mathew năm nay học năm thứ 2 đại học, nhưng kiến thức HHĐS của bạn ý thì phải cỡ năm thứ 2 thạc sỹ hoặc hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[elfking]

Phù, đọc cái post đầu tiên mãi mới hiểu ra một tí trong đấy.

Cứ lấy một trường hợp đơn giản là scheme ở đây là một đường cong elliptic định nghĩa trên tập hữu tỷ, với vành hàm $\mathcal{O}=\mathbb{Q}[X,Y]/(f)$. Cũng giống như khi định nghĩa trường số đại số, trong đường cong này sẽ có những điểm thuần tuý là hữu tỷ và có những điểm "đại số."

Vấn đề là định nghĩa trong Hartshorne có thật sự phản ánh được một điểm ở đây là hữu tỷ không. Vậy ta lấy một điểm $x$ trên đường cong. Nói chung nếu như điểm đấy là hữu tỉ thì khi mở rộng trường hữu tỷ bằng cách thêm vào toạ độ của điểm này thì trường vẫn phải là $\mathbb{Q}$ (và nếu điểm không hữu tỷ thì trường này sẽ lớn hơn).

Nhưng phải diễn tả việc mở rộng trường này thế nào? Giống như với số đại số, ta thêm biến $X,Y$ vào và mod ideal $p$ tương ứng với điểm $x$ (là những đa thức với $x$ là nghiệm) ra: tức là được $\mathbb{Q}(X,Y)/(p)$. Vấn đề là ở đây có lẽ là người ta muốn định nghĩa hoàn toàn dựa vào đường cong thôi (ideal $p$ ở trên là trong toàn bộ $\mathbb{Q}[X,Y]$, có lẽ dùng $p$ chỉ của riêng vành hàm của đường cong thì dễ hơn (bởi vì có sẵn?) hoặc đẹp hơn), cho nên ta có thể viết lại bằng cách cục bộ hoá vành hàm tại điểm $x$, và như thế sẽ được ($p$ ở đây là trong $\mathcal{O}$)
$\mathcal{O}_p/(p)\mathcal{O}_p=:\mathbb{Q}(x)$ ,
tức là trường residue của $x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]