Đạo hà m Weingarten và ký hiêu Christoffel

[datsuphu]

Trong cuốn của Đỗ Ngọc Diệp có nói
Ký hiệu $\left(u^1,u^2\right)=\left(u,v\right),\quad{ \bf e}_1=\partial_1=\dfrac{\partial}{\partial u^1},\quad{ \bf e_2}=\partial_2=\dfrac{\partial}{\partial u^2}$
Ta Có:
$\begin{cases}\partial_i e_j=\sum\limits_{k=1}^{2}\Gamma^k_{ị}e_k+b_{ ị}{\bf n}\\ \partial_i\bf{n}=\sum\limits_{k=1}^{2}c_i^ke_k\end {cases}$
em em đoán là từ phương trình số 2 chỉ ra được
$\left({\bf e}_j,{\bf n}\right)=\sum\limits_k c_j^kg_{dj}$
( tích vô hướng 2 vế của phuơng trình với ${\bf e}_j $ nhưng tại sao lại ra đựoc $g_{kj} $ ???
có bạn nào biết còn cuốn nào nói về ánh xạ Weingarten đạo hàm hiệp bến, độ cong reiman thì cho minh xin với. cuốn này đọc thấy nhiều chỗ kỳ lắm( mà ko biết có phải do dùng bản lậu trên mạng hay không mà có nhiều lỗi đánh máy ).thanks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bạn sửa lại latex đi. Bạn có thể tham khảo bất kỳ cuốn sách hình học vi phân nào về lý thuyết đường và mặt trong $\mathbb{R}^3,$ hay còn gọi là hình học vi phân cổ điển. Ví dụ bạn có thể tham khảo, sách tiếng Việt có Đoàn Quỳnh, sách tiếng Anh có thể tìm đọc
- Klingenberg
- Montiel, Ros
- Berger, Gostiaux
-Presley, có bản dịch của Phó Đức Tài thì phải, cái này được dạy ở ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

hoặc lecture notes trên mạng, có rất nhiều.

Còn câu hỏi của bạn: mình đoán là $g_{ij}$ là hệ số của metric trên mặt đang xét. Hệ số này là theo cơ sở $e_i$ ở trên, vậy nên $\langle e_i, e_j\rangle = g_{ij}$ theo định nghĩa.

Đạo hàm hiệp biến (còn gọi là liên thông) phải khá cẩn thận, vì có nhiều loại liên thông. Thường thì mọi người dùng liên thông Levi-Civita, khi đó sẽ có nhiều tính chất, ví dụ : Với X, Y, Z là 3 trường vector, ta có $$X\cdot \langle Y, Z \rangle = \langle \nabla_{X}Y,Z\rangle + \langle Y,\nabla_XZ\rangle.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nhìn cái công thức của bạn mình thấy vấn đề dễ hiểu quá rồi còn gì Bạn chỉ cần lưu ý rằng: liên thông Levi-Civita trên một mặt chính là phép chiếu vuông góc lên mặt đó của liên thông trong $\mathbb{R}^3.$ Cụ thể, nếu $X, Y$ là trường vector trên mặt $S\subset \mathbb{R}^3$ thì $$\nabla^{S}_XY = \pi(\nabla^{\mathbb{R}^3}_XY).$$ Ở đây, $\pi$ là phép chiếu, thỏa mãn, tại mỗi $x\in S,$ $\pi \colon T_x\mathbb{R}^3\to T_xS$ là phép chiếu vuông góc.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]