Một số bà i tập về đa tạp khả vi

[soul]

Bài 1: Gỉa sử P2 là mặt phẳng xạ ảnh thực 2-chiều. Hãy chỉ ra hai bản đồ phù hợp của P2.
Bài 2: Gỉa sử Gl(n,R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông, thực cấp n không suy biến.
a) Chứng minh Gl(n,R) là một đa tạp. Gl(n,R) có liên thông không? Tại sao?
b) Hãy chỉ ra một vecto tiếp xúc với Gl(n,R) tại I, I là ma trận đơn vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài 1 : Dùng định nghĩa của đa tạp

Bài 2 : a. Bạn xét hàm định thức từ $GL \to \mathbb{R} $, đây là hàm liên tục và sử dụng nhận xét là hàm liên tục biến tập liên thông thành liên thông. GL(n, R) là đa tạp với một lý do rất hiển nhiên, bạn có thể suy từ hàm định thức.

b. Bạn áp dụng định nghĩa vector tiếp xúc là ra thôi. Lấy một đường cong khả vi $c\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to GL(n,\mathbb{R}) $ thỏa mãn $c(0) = I $, khi đó vector $\dot{c}(0) $ là vector tiếp xúc tại I của $GL(n,\mathbb{R}) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soul]

B1: Tất nhiên là mình biết là dùng định nghĩa đa tạp rùi, nhưng bạn có thể chỉ cho mình 1 bản đồ trên P2 được không? Vì thực sự mình không rành hình xạ ảnh lắm, trên hình cầu, elip thì xong tuốt tuồn tuột dưng mà sao đến chỗ ni lại bí rì rị thế? Có lẽ là mình không tưởng tượng tốt lắm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Ừ, ví dụ hai bản đồ trên $\mathbb{P}^2 $ là $U_0 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_0\neq 0\} $ và $U_1 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_1\neq 0\} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[damu_trying]

Ừ, ví dụ hai bản đồ trên $\mathbb{P}^2 $ là $U_0 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_0\neq 0\} $ và $U_1 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_1\neq 0\} $

vấn đề là đồng phôi ở đây xác định như thế nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Rất đơn giản : $[z_0\colon z_1]\in U_0 \mapsto \frac{z_1}{z_0}\in \mathbb{R} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Keke, mình sẽ nuôi thread này, vì đây là chủ đề hay. Tất cả các bài đưa lên đều là những bài tôi chưa có lời giải.

Bài 3: Chứng minh nếu M là n-đa tạp compact thì mọi ánh xạ trơn $f: M \mapsto R^n $ đều có điểm tới hạn.

Bài 4: Cho M, N là 2 đa tạp. Đặt $Pr_1: M\times N \mapsto M $ và $Pr_2: M\times N \mapsto N $ là 2 phép chiếu. Cm $\forall (x,y) \in M\times N $ ta luôn có

$(dPr_1, dPr_2): T_{(x,y)}M\times N \mapsto T_{x}M \times T_{y}M $

là một đẳng cấu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài 3 thì chỉ cần xét một hàm tọa độ $f_1 $ của $f $. Do $M $ compact nên $f_1 $ có điểm tới hạn, và điểm đó thỏa mãn tất cả các đạo hàm riêng tại đó của $f_1 $ triệt tiêu. Khi đó ma trận Jacobi của $f $ tại điểm đó là ma trận $n\times n $ có một hàng = 0. Vì vậy điểm tới hạn đó là điểm tới hạn của ánh xạ $f $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Em có bài tập này hay :

Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Em có bài tập này hay :

Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $.

Để đỡ mất công ta dùng từ trơn thay cho cụm "thuộc lớp $C^r $". Với mỗi ax trơn $f $ từ n-đa tạp $M $vào m-đa tạp $M' $ ta kí hiệu $r(f)_x $ là hạng của $Df(x) $. Khi đó ta có 2 tính chất sau:
1- Nếu $r(f)_x = k = constant $ trong 1 lân cận của $x $ thì tồn tại một bản đồ địa phương $h $ của $x $ và một bản đồ $h' $ của$ y=f(x) $ sao cho:

$h'.f.h^{-1}: (x_1, ..., x_n) \mapsto (x_1, ..., x_k, 0, ..., 0) $

(đây là 1 dạng tương đương của đl hàm ngược)
2- $r(f) $ là hàm nửa liên tục trên theo $x $, tức là với mỗi $x $ tồn tại 1 lân cận $U $ của $x $ sao cho

$r(f)_{x'} \ge r(f)_x \ \forall x' \in U $.

-----------------------------------
Vì cm không hề ngắn và phải gõ rất nhiều công thức nên chỉ nêu ý tưởng: Sử dụng tính chất 2 và giả thiết của đề bài (co rút + liên thông) ta chứng minh được $r(f) $ phải là hằng số trên một lân cận của A, đặt$r(f) = k $. Sau đó áp dụng tính chất 1 ta có điều phải chứng minh bằng cách chỉ ra A là đa tạp con theo đúng định nghĩa của đa tạp con. Nó có chiều bằng k.

PS: Nói chung bài này ko dễ, và lời giải này là mình sưu tầm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Vâng ạ, bài ý không dễ, nhưng mà em thấy nó hay nên em gửi thôi. Em cũng không nghĩ ra được lời giải. Ít ra qua bài ý, ta học được vài kỹ thuật và kiến thức cũ (định lý hạng hằng = tổng quát cho cả định lý hàm ẩn và hàm ngược).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]