Phân tích khái niệm độ cong

[tuannguyen3141]

Cho đường cong L có phương trình trong hệ tọa độ đề các vuông gốc là $y=f(x) $. Kẻ các tiếp tuyến của L tại M và M' có hoành độ x và $\Delta x $. Gọi $ \varphi $ và $ \Delta \varphi $ là các góc nghiêng của chúng. Khi tiếp điểm di chuyển từ M đến M', tiếp tuyến dương quay một góc bằng $ \left |\Delta \varphi \right | $, còn độ dài cung MM' bằng $\Delta s $. Do đó độ cong $C\left ( M \right )=\frac{\left | \Delta \varphi \right |}{\left | \Delta s \right |}=\frac{\left | d\varphi \right |}{\left | ds \right |} $. Tuy nhiên có tài liệu viết độ cong là $C\left ( M \right )= \frac{dt}{ds} $, trong đó dt là vi phân của tiếp tuyến. Mong các bác cho ý kiến quan điểm nào về độ cong là phù hợp, tại sao? Rất cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cả 2 cái trên đều có lý cả, vì đều đo "độ chệch" khỏi việc "trở thành một đường thẳng". Nếu độ cong = 0 thì đường cong chính là đường thẳng. Tuy nhiên, định nghĩa gì thì định nghĩa, nên theo chuẩn chung. Bạn có thể tìm hiểu trong bất kỳ cuốn sách nào về hình học vi phân cổ điển.

Tiếng Việt : Đoàn Quỳnh
Tiếng Tây : rất nhiều, ví dụ Montiel-Ros, Curves and Surfaces.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Cảm ơn bạn đã đọc qua và trả lời bài của mình! Đúng là cả hai đều có lý cả, một là của toán sách cao cấp tập 3, hai là của tác giả nước ngoài nhưng khó khăn của mình là dt/ds cụ thể như thế nào mình không thực hiện được vì đây là tiếp tuyến của đường cong di chuyển từ M về M' theo chiều cố định. Ví dụ như đường cong $y=f(x) $ thì phương trình tiếp tuyến là $(x-x_{0})f_{x}^{'}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})f_{y}^{'}(x_{0},y_{0})=0 $ nên tìm kiếm một phương trình cụ thể là rất khó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Lưu ý là khi đã dùng $ds$ nghĩa là đó là tham số hóa tự nhiên của đường cong thỏa mãn vector tiếp tuyến (còn gọi là vector vận tốc) có module bằng 1.

Đường cong $y = f(x)$ thì vector tiếp tuyến của nó là $x\mapsto (1, f'(x))$, nên bạn gặp khó khăn ở đâu vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Lưu ý là khi đã dùng $ds$ nghĩa là đó là tham số hóa tự nhiên của đường cong thỏa mãn vector tiếp tuyến (còn gọi là vector vận tốc) có module bằng 1.

Đường cong $y = f(x)$ thì vector tiếp tuyến của nó là $x\mapsto (1, f'(x))$, nên bạn gặp khó khăn ở đâu vậy?

Điều đầu tiên mình cảm ơn bạn rất nhiều, mình có khó khăn ở một phương trình cụ thể đơn giản như: $y=x^{2} $ tại $x=2 $ thì độ cong C(M) như thế nào? $ C(M)=\frac{dt}{ds} $ bằng bao nhiêu? trong khi đó tính theo toán cao cấp thì C(M) = 0.074074074
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Tính toán cụ thể thì mình không có thời gian để giúp bạn vì mình đang phải làm tốt nghiệp. Theo như mình biết thì công thức độ cong có công thức với tham số thường và tham số tự nhiên, bạn chịu khó tra sách trong Montiel-Ros hoặc Klingenberg.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Tuy nhiên có tài liệu viết độ cong là $C\left ( M \right )= \frac{dt}{ds} $, trong đó dt là vi phân của tiếp tuyến.

Vi phân của tiếp tuyến là sao vậy bạn? Mình không hiểu ý bạn $\mbox{d}t $ là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Vi phân của tiếp tuyến là sao vậy bạn? Mình không hiểu ý bạn $\mbox{d}t $ là gì?

t là tiếp tuyến của đường cong L, dt là vi phân của tiếp tuyến, nếu cho t là một giá trị cụ thể thì tại đó là đường tiếp tuyến cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Điều đầu tiên mình cảm ơn bạn rất nhiều, mình có khó khăn ở một phương trình cụ thể đơn giản như: $y=x^{2} $ tại $x=2 $ thì độ cong C(M) như thế nào? $ C(M)=\frac{dt}{ds} $ bằng bao nhiêu? trong khi đó tính theo toán cao cấp thì C(M) = 0.074074074

Mấy cái này cứ tính từ từ. Trước tiên tham số hóa $x(t) = t, \, y(t) = t^2, \, t >0 $. Khi đó $\mbox{r} (t) = t \mbox{i} + t^2 \mbox{j} $ là vector vị trí. Ta xác định unit tangent vector $\mbox{T} = \dfrac{\mbox{r}^\prime (t)}{|\mbox{r}^\prime(t)|} $. Cuối cùng, $\text{curvature} = \dfrac{ |\mbox{T}^\prime (t)|}{|\mbox{r}^\prime (t)|} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Mấy cái này cứ tính từ từ. Trước tiên tham số hóa $x(t) = t, \, y(t) = t^2, \, t >0 $. Khi đó $\mbox{r} (t) = t \mbox{i} + t^2 \mbox{j} $ là vector vị trí. Ta xác định unit tangent vector $\mbox{T} = \dfrac{\mbox{r}^\prime (t)}{|\mbox{r}^\prime(t)|} $. Cuối cùng, $\text{curvature} = \dfrac{ |\mbox{T}^\prime (t)|}{|\mbox{r}^\prime (t)|} $

Theo cách hướng dẫn mình tính như dưới đây nhưng không ra kết quả được, mong bạn hướng dẫn cụ thể hơn:
$r'(t)=i+2j ;

\left |r'(t) \right |=(1+4t^{2})^{1/2};

T=\frac{r'(t)}{\left | r'(t) \right |}=\frac{i+2j}{(1+4t^{2})^{1/2}};

T'=\frac{-4ti+2j}{(1+4t^{2})^{3/2}};

C(M)=\frac{T'}{\left | T' \right |}=\frac{-4ti+2j}{1+4t^{2}} $
Cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Theo cách hướng dẫn mình tính như dưới đây nhưng không ra kết quả được, mong bạn hướng dẫn cụ thể hơn:

Mình trình bày kỹ lại. Trước tiên, tham số hóa $y(t) = t^2, \, x(t) = t, \, t \ge 0 $. Khi đó, vector vị trí $\mbox{r}(t) = t\mbox{i} + t^2\mbox{j}, \: \mbox{r}'(t) = \mbox{i} + 2t\mbox{j} $ và $|\mbox{r}'(t)| = \sqrt{1+4t^2}. $

Unit tangent vector $\mbox{T}(t) = \dfrac{\mbox{r}'(t)}{|\mbox{r}'(t)|} = \dfrac{1}{\sqrt{4t^2+1}} \mbox{i} + \dfrac{2t}{\sqrt{4t^2+1}}\mbox{j} $

$\Rightarrow |\mbox{T}'(t)| = \left|-\dfrac{4t}{(4t^2+1)^{3/2}} \mbox{i} + \dfrac{2}{(4t^2+1)^{3/2}} \right| = \dfrac{2}{4t^2+1} $

Do đó, $\text{curvature} = \dfrac{|\mbox{T}'(t)|}{|\mbox{r}'(t)|} = \dfrac{2}{(4t^2+1)^{3/2}} $

Nếu cho $t = 2 $ thì ra kết quả là $\dfrac{2}{17^{3/2}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Mình trình bày kỹ lại. Trước tiên, tham số hóa $y(t) = t^2, \, x(t) = t, \, t \ge 0 $. Khi đó, vector vị trí $\mbox{r}(t) = t\mbox{i} + t^2\mbox{j}, \: \mbox{r}'(t) = \mbox{i} + 2t\mbox{j} $ và $|\mbox{r}'(t)| = \sqrt{1+4t^2}. $

Unit tangent vector $\mbox{T}(t) = \dfrac{\mbox{r}'(t)}{|\mbox{r}'(t)|} = \dfrac{1}{\sqrt{4t^2+1}} \mbox{i} + \dfrac{2t}{\sqrt{4t^2+1}}\mbox{j} $

$\Rightarrow |\mbox{T}'(t)| = \left|-\dfrac{4t}{(4t^2+1)^{3/2}} \mbox{i} + \dfrac{2}{(4t^2+1)^{3/2}} \right| = \dfrac{2}{4t^2+1} $

Do đó, $\text{curvature} = \dfrac{|\mbox{T}'(t)|}{|\mbox{r}'(t)|} = \dfrac{2}{(4t^2+1)^{3/2}} $

Nếu cho $t = 2 $ thì ra kết quả là $\dfrac{2}{17^{3/2}} $

Nhờ bạn mà mình tính được độ cong của nhiều đường cong khác nhau, nhưng khi tìm hiểu về mặt cong (là tập hợp của nhiều đường cong hay đường thẳng), độ cong của mặt cong như công thức sau:
$k=\frac{L+2M\lambda +N\lambda ^{2}}{E+2F\lambda +G\lambda ^{2}}$
mình không hiểu các hệ số cơ bản thứ nhất và thứ hai L,M,N,E,F,G là gì? công thức ra sao?(where E, F, G, L, M, N are the fundamental coefficients of the first and second order).mong bạn giải thích cho. Cảm ơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

mình không hiểu các hệ số cơ bản thứ nhất và thứ hai L,M,N,E,F,G là gì? công thức ra sao?(where E, F, G, L, M, N are the fundamental coefficients of the first and second order).mong bạn giải thích cho. Cảm ơn

Cái này mình không biết . Nếu bạn đọc được định lý này trong 1 tài liệu nào đó thì ắt phải có định nghĩa chứ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Cái này mình không biết . Nếu bạn đọc được định lý này trong 1 tài liệu nào đó thì ắt phải có định nghĩa chứ.

Mình tìm được proof nhưng đọc chưa hiểu vì khái niệm ban đầu có khác những về bản chất mình đang tìm hiểu. Nếu khó quá thì mình gởi để bạn giúp nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuannguyen3141]

Mình tìm được proof nhưng đọc chưa hiểu vì khái niệm ban đầu có khác những về bản chất mình đang tìm hiểu. Nếu khó quá thì mình gởi để bạn giúp nhé.

Mình đã hiểu đây là hệ số cơ bản phục vụ cho công thức trên:
The differential arc length of a parametric curve is given by $ds=\left | \frac{dr}{dt} \right |dt $. Now if we replace the parametric curve by a curve $u(t) v(t) $ , which lies on the parametric surface $r=r(u,v) $ , then
$ds=\left | \frac{dr}{dt} \right |dt=\left | r_{u}\frac{du}{dt}+ r_{v}\frac{dv}{dt} \right |=\sqrt{Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}} $
where
$E= r_{u}. r_{u}F= r_{u}. r_{v}G=r_{v}.r_{v} $
The first fundamental form is defined as
$I=ds^{2}==dr.dr={Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}} $
Vì kiến thức không liên tục nên tìm kiếm 1 vấn đề rất lâu. Cảm ơn bạn đã chia sẽ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]