Topic về hình học tổ hợp

[leeleex]

Mình đề nghị lập một topic riêng bàn về các bài toán hình học tổ hợp
(Mong admin cho chủ đề được dán lên cao)
Sườn nội dung:
1. Các bài toán liên quan tính lồi, bao lồi.
2. Các bài toán liên quan đường kính của hình, phủ hình.
3. Các bài toán cắt hình.
4. Các bài toán mặt phẳng kẻ ô vuông.
5. Các bài toán khác.
Mỗi mục sẽ tập hợp đề bài và lời giải các bài toán.
Lời giải nên cho vào "Hint" ngay dưới đề bài để tiện theo dõi.
Mong các bạn ủng hộ đóng góp nhiều lời giải hay.

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC TỔ HỢP
Phần 1. Các bài toán liên quan tính lồi, bao lồi
Bài 1. Cho 5 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài 2. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi 4 đỉnh tùy ý của nó là các đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài 3. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi mọi đường chéo của nó nằm hoàn toàn trong đa giác.
Bài 4. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi từ mọi điểm thuộc đa giác ta có thể nhìn thấy tất cả các cạnh của đa giác.
Bài 5. Trên mặt phẳng có n đa giác lồi đôi một cắt nhau. Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt tất cả các đa giác này.
Bài 6. Trên mặt phẳng có n đa giác lồi đôi một cắt nhau. Chứng minh nếu cho trước một phương tùy ý thì luôn tồn tại một đường thẳng có phương đã cho và cắt tất cả đa giác này.
Bài 7. Trên một đường tròn có n cung . Chứng minh nếu 2 cung bất kỳ trong chúng có giao khác rỗng thì giao của cả hệ khác rỗng.
Bài 8. Trên mặt phẳng có một họ các hình chữ nhật có các cạnh tương ứng song song. Chứng minh nếu giao hai hình bất kỳ khác rỗng thì giao của cả họ khác rỗng.
Bài 9. Trên mặt phẳng cho n hình tròn. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất nếu chọn 3 hình tròn tùy ý trong số các hình đã cho, luôn tìm được vị trí đặt đĩa cắt cả 3 hình tròn. Chứng minh tìm được vị trí đặt đĩa cắt tất cả các hình đã cho.
Bài 10. Cho 4 nửa mp lấp đầy mp. Chứng minh tồn tại 3 nửa mp trong 4 nửa mp lấp đầy mp.
Bài 11. Trên đường tròn đơn vị có họ các cung có độ dài nhỏ hơn $\pi $ , có tính chất giao 3 cung khác rỗng. Chứng minh giao họ các cung khác rỗng.
Bài 12. Trên mặt phẳng cho n điểm. Chứng minh tìm được điểm A, gần nó nhất có không quá 3 điểm có khoảng cách bằng d tới A.
Bài 13. Trên mặt phẳng cho một số n giác đều. Chứng minh bao lồi của chúng là một đa giác không ít hơn n đỉnh.
Bài 14. Trên mặt phẳng cho n điểm không cùng nằm trên 1 đường thẳng. Chứng minh tồn tại 3 điểm sao cho đường tròn đi qua nó không chứa điểm nào bên trong.
Bài 15. Bên trong hình vuông đơn vị cho n điểm. Chứng minh tồn tại tam giác có đỉnh trong số các điểm đã cho hoặc là đỉnh hình vuông, sao cho diện tích của tam giác là $S,S\le \frac{1}{2(n+1)} $.
Bài 16. Trên mặt phẳng cho n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh có ít nhất $C^2_{n-3} $ tứ giác lồi có đỉnh trong số các điểm đã cho.
Bài 17. Trên mp cho 100 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta xét tất cả những khả năng tạo thành tam giác có đỉnh từ những điểm này. Chứng minh có nhiều nhất 70% số tam giác là tam giác nhọn.
Bài 18. Trên mặt phẳng cho điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào nằm trên cùng 1 đường tròn. Chứng minh tồn tại một đường tròn qua 3 điểm của chúng và chứa bên trong đúng n điểm đã cho.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DuyLTV]

Mình đã dán lên cao, nhưng bạn không nên gửi một lần cả list bài toán như thế, nhìn giống hỏi bài hơn Tốt hơn là để các thành viên cùng nhau gửi bài và giải quyết, thế thì hay hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leeleex]

Mình đã dán lên cao, nhưng bạn không nên gửi một lần cả list bài toán như thế, nhìn giống hỏi bài hơn Tốt hơn là để các thành viên cùng nhau gửi bài và giải quyết, thế thì hay hơn.

Cám ơn bạn. Mình chỉ châm ngòi trước tí mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Cám ơn bạn. Mình chỉ châm ngòi trước tí mà.

Mình góp ý thêm một chút là trước khi đưa ra các bài toán, bạn cũng nên đưa ra vài khái niệm, định nghĩa thì mọi người mới dễ hiểu vấn đề của bạn. Ví dụ như bài 1 bạn yêu cầu chứng minh tứ giác lồi, nhưng bản thân mình cũng chưa biết định nghĩa "tứ giác lồi" là như thế nào cả.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ghetthehien]

Định nghĩa tứ giác lồi có trong sgk cấp 2 mà bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levietbao]

.... nhưng bản thân mình cũng chưa biết định nghĩa "tứ giác lồi" là như thế nào cả.

Em xin phép được giải thích thay bạn ấy một khái niệm tổng quát:
Định nghĩa đa giác lồi:Là đa giác mà đường thẳng kéo dài của các cạnh bất kì đa giác đó thì chứa hoàn toàn đa giác đó.
Ví dụ: các tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, ... là các đa giác lồi.
Lưu ý trong định nghĩa trên: Các cạnh bất kì đa giác chứ không phải là các đỉnh bất kì !

Em học lâu rồi nhưng vẫn hơi nhớ định nghĩa này

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[inuyashahot]

Có bạn nào giúp thử mình bài này được không?
Cho 1 đa giác đều có 18 đỉnh. Hỏi có:
a/ Bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác
b/ Hình thang cân có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác
c/ Tam giác cân có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác

Mình dở mấy cái hình học tổ hợp lắm, nếu bạn nào làm được thì bạn giải thích cặn kẽ được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Ý tưởng của em là thế này:
a)Ta có n cách chọn đường kính thứ nhất và n-1 cách chọn đường kính thứ hai, nhưng như thế sẽ bị lặp nên ta phải chia 2. Ta có $\frac{n(n-1}{2}$ hình chữ nhật.
b)Có cách chọn 9 dây đôi một không song song. Với mỗi dây tương ứng ta có 36 cách chọn hình thang. Vậy ta có 9x36=324(hi vọng không làm sai)
c)Chắc ý tưởng tương tự câu b)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Cho tam giác ABC nội tiếp có $AB,AC,BC \leq \sqrt{3} $.Chứng minh hoặc phủ nhận bài toán sau:
1)tam giác ABC phủ được bởi (A;1) và (M;1) với M là trung điểm BC
2)tam giác ABC phủ được bởi (A;1), (B;1), (C;1)

Lấy ý tưởng từ VMO 2011

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leeleex]

Bài 1. Cho 5 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.

TH1. Bao lồi của 5 điểm đã cho là ngũ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH2. Bao lồi của 5 điểm đã cho là tứ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH3.Bao lồi của 5 điểm đã cho là tam giác ABC$\Rightarrow $D,E là 2 điểm trong của tam giác ABC, tồn tại 2 điểm (chẳng hạn B,C) cùng phía đường thẳng DE. Ta có tứ giác lồi DEBC.

------------------------------

Bài 2. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi 4 đỉnh tùy ý của nó là các đỉnh của một tứ giác lồi.

Điều kiện cần: hiển nhiên.
Điều kiện đủ:
Giả sử 4 đỉnh tùy ý của H là tứ giác lồi, H không phải đa giác lồi$\Rightarrow $
bao lồi F của H là đa giác lồi chứa điểm A bên trong. Chia F thành các tam giác bởi các đường chéo $\Rightarrow $ A là điểm trong của tam giác BCD $\Rightarrow $ ABCD không phải tứ giác lồi (mâu thuẫn).

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan99]

Topic dạo này vắng vẻ nhỉ. Mình xin đăng một bài:
Bài 19: Trên mặt phẳng kẻ 25 đường thẳng đôi một cắt nhau sao cho không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng trong số các tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong các đường thẳng đã cho có ít nhất 16 tam giác không bị đường thẳng nào trog số các đường thẳng còn lại cắt ngang.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Để giải quyết vấn đề về một họ các hình lồi có giao khác rỗng thì ta sử dụng định lý Kelly.
Nó được phát biểu như sau:

• Định lý trong không gian 2 chiều: Trong 1 mặt phẳng cho $n$ hình lồi ($n \ge 4$). Giao Ä‘iểm bất kì trong chúng khác rá»—ng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cÅ©ng khác rá»—ng.
  Định lý trong không gian 1 chiều: Trên đường thẳng cho $n$ hình lồi ($n \ge 3$). Giao điểm của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cũng khác rỗng.

2 định lý trên sẽ giải quyết nhanh gọn bài 5, 6, 7.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan99]

Định lí Helly chứ bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan99]

Để giải quyết vấn đề về một họ các hình lồi có giao khác rỗng thì ta sử dụng định lý Kelly.
Nó được phát biểu như sau:

• Định lý trong không gian 2 chiều: Trong 1 mặt phẳng cho $n$ hình lồi ($n \ge 4$). Giao Ä‘iểm bất kì trong chúng khác rá»—ng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cÅ©ng khác rá»—ng.
  Định lý trong không gian 1 chiều: Trên đường thẳng cho $n$ hình lồi ($n \ge 3$). Giao điểm của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng. Khi đó giao của $n$ hình lồi cũng khác rỗng.

2 định lý trên sẽ giải quyết nhanh gọn bài 5, 6, 7.

Cả bài 9,10 và một số bài khác nữa luôn nhé bạn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quangnamnvm01]

Bài 1: ta có thể dùng bao lồi của 5 điểm trên. ta có 3 kha năng xảy ra
+ TH1: Nếu là ngũ giác. chọn 4 điểm bát kì đều là tứ giác lồi
+ TH2: Nếu là tứ giác => Bt luôn đúng
+ TH3: Nếu là tam giác. ta cung dễ dàng chỉ ra được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]