Topic về hình học tổ hợp

[hungtitans]

TH1. Bao lồi của 5 điểm đã cho là ngũ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH2. Bao lồi của 5 điểm đã cho là tứ giác lồi thì luôn tồn tại 4 điểm là đỉnh tứ giác lồi.
TH3.Bao lồi của 5 điểm đã cho là tam giác ABC$\Rightarrow $D,E là 2 điểm trong của tam giác ABC, tồn tại 2 điểm (chẳng hạn B,C) cùng phía đường thẳng DE. Ta có tứ giác lồi DEBC.

------------------------------

Điều kiện cần: hiển nhiên.
Điều kiện đủ:
Giả sử 4 đỉnh tùy ý của H là tứ giác lồi, H không phải đa giác lồi$\Rightarrow $
bao lồi F của H là đa giác lồi chứa điểm A bên trong. Chia F thành các tam giác bởi các đường chéo $\Rightarrow $ A là điểm trong của tam giác BCD $\Rightarrow $ ABCD không phải tứ giác lồi (mâu thuẫn).

em thay de bai nay co lo hong a
------------------------------
[QUOTE=hungtitans;202526]em thay de bai 2 nay co lo hong a
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Đây là một mảng hay của tổ hợp và liên quan nhiều tới hình học. Mình tìm được một số bài toán về nội dung hình học tổ hợp nhưng liên quan tới hình học thuần túy chặt chẽ. Xin khởi động lại với một bài toán từ Olympic Moscow

Bài toán 20. Trong mặt phẳng cho một hình vuông và một tam giác đều bất kỳ. Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng có một đầu mút là đỉnh hình vuông và đầu mút còn lại là đỉnh tam giác đều luôn tồn tại một đoạn thẳng có độ dài vô tỷ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Bài toán 20. Trong mặt phẳng cho một hình vuông và một tam giác đều bất kỳ. Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng có một đầu mút là đỉnh hình vuông và đầu mút còn lại là đỉnh tam giác đều luôn tồn tại một đoạn thẳng có độ dài vô tỷ.

Lời giải của anh Tạ Hoàng Linh từ facebook.

Giả thiết ngược lại: Có 3 điểm "toạ độ nguyên" làm thành tam giác đều ABC vs độ dài cạnh = d.

->
a./ s(ABC) = 1/2 * d * (d.3^(1/2) / 2)
= 1/4 * d^2 * 3^(1/2)
vs d^2 = Nguyên; 3^(1/2) = Vô tỷ.
s(ABC) = Vô tỷ. (*)

b./ s(ABC) cũng =
s(Hình chữ nhật ngoại tiếp ABC)
-
s(Vài mảnh tam giác ba-via tương ứng)
vs
Mỗi mảnh ba-via là một tam giác vuông có các đỉnh là "toạ độ nguyên".
s(mỗi mảnh ba-via) = 1/2 * "Tích 2 cạnh vuông" = Hữu tỷ.

->
s(ABC) = Hữu tỷ - (Hữu tỷ + ... + Hữu tỷ) = Hữu tỷ.
vs a./ s(ABC) = Vô tỷ....Mâu thuẫn...!!

->
(*) Được xác minh.

Áp dụng kết quả (*) vào bài tập…
(**) Nếu có hình vuông H và tam giác đều T, mà tất cả các đoạn/các cặp “Đỉnh H <-> Đỉnh T” có độ dài = Hữu tỷ...

->
Phóng to tất cả theo tỷ lệ phù hợp, sẽ thu được ảnh H1, T1 mà: Tất cả các đoạn “Đỉnh H1 <-> Đỉnh T1” có độ dài = Nguyên.
(Chẳng hạn: Các khoảng cách = Hữu tỷ: d1 = a1/b1, d2 = a2/b2; … -> Nhân tất cả lên với tích các mẫu số b1.b2…bn; Ratio r = b1.b2…bn)

Xây dựng hệ tọa độ theo cách:
Tâm O = Tâm hình vuông H1.
4 đỉnh H1 có tọa độ lần lượt: P1 = (a, a); P2 = (-a, a); P3 = (-a, -a); P4 = (a, -a)

Với tam giác đều T1, tọa độ các đỉnh: A = (x1, y1); B = (x2, y2); C = (x3, y3)

A = (x1, y1) vs 2 đỉnh P1, P2 của H1.
(x1 - a)^2 + (y1 – a)^2 = AP1^2 = Nguyên.
(x1 + a)^2 + (y1 – a)^2 = AP2^2 = Nguyên.

AP2^2 - AP1^2 = 4a.x1 = Nguyên/Z.

A = (x1, y1) vs 2 đỉnh P1, P4 của H1.
(x1 - a)^2 + (y1 - a)^2 = AP1^2 = Nguyên.
(x1 - a)^2 + (y1 + a)^2 = AP4^2 = Nguyên.

AP4^2 - AP1^2 = 4a.y1 = Nguyên/Z.

Tương tự và gom kết quả:
A' = (4a.x1, 4a.y1) = (Z, Z)
B' = (4a.x2, 4a.y2) = (Z, Z)
C' = (4a.x3, 4a.y3) = (Z, Z)

->
A'B'C' = Ảnh phóng to/thu nhỏ tam giác đều ABC vs tỷ lệ 4a.
A'B'C' cũng là tam giác đều... - Và có các đỉnh "toạ độ nguyên"...
vs Kết quả (*)... -> No...

->
Giả thiết (**) "Có hình vuông H và tam giác đều T, mà tất cả các đoạn/các cặp “Đỉnh H <-> Đỉnh T” có độ dài = Hữu tỷ" KHÔNG xảy ra...

Phải có đoạn nào đó có độ dài = Vô tỷ...?!

Bài toán 21. Một đa giác lồi trên mặt phẳng tọa độ chứa trong nó $m^2+1$ điểm nguyên. Chứng minh rằng trong các điểm đó phải có $m+1$ điểm thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]