Tensor biến dạng nhỏ và tensor quay trong tọa độ trực giao

[datsuphu]

Trong cuốn sách cùa Đào huy bích
có đưa ra công thức tính tensor biến dạn nhỏ như sau
$e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\nabla_iu_j+\nabla_ju_i \right )$
trong tọa độ trực giao thì trở thành
$e_{11}^*=\frac{1}{A_1}\frac{\partial u_1^*}{\partial x^1}+\frac{u_2^*}{A_1A_2}\frac{\partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u_3^*}{A_1A_3}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$

với các chú thích:
$g_{ii}=\frac{1}{g^{ii}}=A_i^2\quad g_{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
g^{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
\Gamma _{ijk}=0\left(i\neq j\neq k \right )\\
\Gamma_{ijj}=\Gamma_{jij}=-\Gamma_{jji}=A_iA_{i,j};\\
\Gamma_{iii}=A_iA_{i,i};\Gamma^k_{ij}=0;\Gamma^i_{ ij}=\Gamma^i_{ji}=\frac{A_{i,j}}{Ai};\\ \Gamma^j_{ii}=-\frac{A_iA_{i,j}}{\left(A_j \right )^2}\\
$
thành phần vật lý: $u_i^*=\frac{u_i}{A_i};\quad e_{ij}^*=\frac{e_{ij}}{A_iA_j}$ không lấy tổng theo i, j
bài tập cần CM lại nhưng khi e cm lại thì ra như sau:

$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(\nabla_i\left(A_j u^*_j\right)+\nabla_j\left(A_iu^*_i\right)\right)$
$=\frac{1}{2A_iA_j}\left(u^*_i\nabla_jA_i+A_i \nabla _ju^*_i +u^*_j\nabla_iA_j+A_j\nabla_iu^*_j \right )$
áp dụng bổ để richie và đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến:
$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(A_j\left(\frac{ \partial u^*_j}{\partial x^i}-\Gamma^k_{ij}u^*_k \right )+A_i\left(\frac{\partial u^*_i}{\partial x^j} -\Gamma^m_{ji}u^*_{m}\right )\right )$
từ đó:
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1A_1}\left(A_1\left(\frac{ \partial u^*_1}{\partial x^1}-\Gamma^k_{11}u^*_k)\right) \right )$ tổng theo$k$
$=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1} +\left(\frac{A_1}{A_k^2}A_{1,k}\right)u^*_k \right )$
ngoặc $() $bên trong ko láy tông theo$ k$. nhưng bên ngoài thì vẫn lại tổng theo $ k$
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1}+\frac{A_1}{A_1^2}A_{1,1}u^*_1+\frac{A_1}{A^2_ 2}A_{1,2}u^*_2+\frac{A_1}{A_3^2}A_{1,3}u^*_3\right )$
kết quả là
$=\frac{\partial u^*_1}{A_1\partial x^1}+\frac{u^*_1}{A_1^2}+\frac{u^*_2}{A_2^2}\frac{ \partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u^*_3}{A_3^2}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$.
cía này khác hoàn toàn trong sách. ko biết bì sai chố nào mà làm mãi ko ra được . các bro chỉ giúp với........
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[datsuphu]

Trong cuốn sách cùa Đào huy bích
có đưa ra công thức tính tensor biến dạn nhỏ như sau
$e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\nabla_iu_j+\nabla_ju_i \right )$
trong tọa độ trực giao thì trở thành
$e_{11}^*=\frac{1}{A_1}\frac{\partial u_1^*}{\partial x^1}+\frac{u_2^*}{A_1A_2}\frac{\partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u_3^*}{A_1A_3}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$

với các chú thích:
$g_{ii}=\frac{1}{g^{ii}}=A_i^2\quad g_{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
g^{ij}=0\left(i\neq j \right )\\
\Gamma _{ijk}=0\left(i\neq j\neq k \right )\\
\Gamma_{ijj}=\Gamma_{jij}=-\Gamma_{jji}=A_iA_{i,j};\\
\Gamma_{iii}=A_iA_{i,i};\Gamma^k_{ij}=0;\Gamma^i_{ ij}=\Gamma^i_{ji}=\frac{A_{i,j}}{Ai};\\ \Gamma^j_{ii}=-\frac{A_iA_{i,j}}{\left(A_j \right )^2}\\
$
thành phần vật lý: $u_i^*=\frac{u_i}{A_i};\quad e_{ij}^*=\frac{e_{ij}}{A_iA_j}$ không lấy tổng theo i, j
bài tập cần CM lại nhưng khi e cm lại thì ra như sau:

$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(\nabla_i\left(A_j u^*_j\right)+\nabla_j\left(A_iu^*_i\right)\right)$
$=\frac{1}{2A_iA_j}\left(u^*_i\nabla_jA_i+A_i \nabla _ju^*_i +u^*_j\nabla_iA_j+A_j\nabla_iu^*_j \right )$
áp dụng bổ để richie và đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến:
$e^*_{ij}=\frac{1}{2A_iA_j}\left(A_j\left(\frac{ \partial u^*_j}{\partial x^i}-\Gamma^k_{ij}u^*_k \right )+A_i\left(\frac{\partial u^*_i}{\partial x^j} -\Gamma^m_{ji}u^*_{m}\right )\right )$
từ đó:
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1A_1}\left(A_1\left(\frac{ \partial u^*_1}{\partial x^1}-\Gamma^k_{11}u^*_k)\right) \right )$ tổng theo$k$
$=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1} +\left(\frac{A_1}{A_k^2}A_{1,k}\right)u^*_k \right )$
ngoặc $() $bên trong ko láy tông theo$ k$. nhưng bên ngoài thì vẫn lại tổng theo $ k$
$e^*_{11}=\frac{1}{A_1}\left(\frac{\partial u^*_1}{\partial x^1}+\frac{A_1}{A_1^2}A_{1,1}u^*_1+\frac{A_1}{A^2_ 2}A_{1,2}u^*_2+\frac{A_1}{A_3^2}A_{1,3}u^*_3\right )$
kết quả là
$=\frac{\partial u^*_1}{A_1\partial x^1}+\frac{u^*_1}{A_1^2}+\frac{u^*_2}{A_2^2}\frac{ \partial A_1}{\partial x^2}+\frac{u^*_3}{A_3^2}\frac{\partial A_1}{\partial x^3}$.
cía này khác hoàn toàn trong sách. ko biết bì sai chố nào mà làm mãi ko ra được . các bro chỉ giúp với........

Dòng cuối cùng viết hơi nhầm một tý, nhưng dù sao kết quả vẫn không bao giờ giống được trong sách. Ko biết là vì sao.
Hu hu. có bro nào giúp với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]