Tâm tỷ cự của nửa đường tròn.

[CTK9]

Tìm tâm tỷ cự của hệ tất cả các điểm nằm trên nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, bán kính $R$ và không thuộc đoạn $AB$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bạn tính tích phân này là ra thôi $$\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(\cos\theta,\sin\theta) d\theta.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CTK9]

Kết quả không giống trong sách. Và tại sao kết quả lại có $\dfrac{1}{\pi}$ hả anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Kết quả không giống trong sách. Và tại sao kết quả lại có $\dfrac{1}{\pi}$ hả anh?

Vì ta đang lấy tích phân trên đoạn $[0,\pi]$, và ta đang tìm giá trị trung bình nên cần phải chia cho độ dài đoạn này, tức là chia cho $\pi$. Tổng quát hơn thì ta có [Only registered and activated users can see links. ]
$$ C = \dfrac{\int xg(x) \, \mathrm{d}x}{\int g(x) \, \mathrm{d}x}, $$
trong đó $g(x)$ có thể hiểu như khối lượng riêng của vật cần tìm trọng tâm tại điểm $x$. Ở bài toán này có thể hiểu rằng ta đang cần tìm trọng tâm của một thanh dài đồng chất. Như vậy là ta có thể lấy $g \equiv 1$.

Kết quả theo như anh 99 đưa ra là đúng rồi. Còn bạn muốn đối chiếu với sách thì nên đưa lên đây để mọi người cùng thảo luận. Nếu bạn muốn có một công thức cho kết quả giống như trong sách thì mình xin chịu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CTK9]

Bài toán gốc yêu cầu tìm tâm tỷ cự của bán cầu bán kính $R$ đồng chất. Kết quả là tâm tỷ cự của bán cầu là điểm nằm trên đường thẳng qua tâm bán cầu, vuông góc với mặt phẳng đáy và cách mặt phẳng đáy một đoạn $\dfrac{3R}{8}$ (về phía chứa bán cầu). Em không hiểu cách giải trong sách nhưng em nghĩ có thể quy bài toán về việc tìm tâm tỷ cự của nửa đường tròn như đã nói ở trên. Em nghĩ bất đồng xảy ra ở chỗ công thức của anh novea tìm tâm (tỷ cự) của một khối đặc, trong khi bài toán chỉ xét những điểm nằm trên đường tròn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Bài toán gốc yêu cầu tìm tâm tỷ cự của bán cầu bán kính $R$ đồng chất. Kết quả là tâm tỷ cự của bán cầu là điểm nằm trên đường thẳng qua tâm bán cầu, vuông góc với mặt phẳng đáy và cách mặt phẳng đáy một đoạn $\dfrac{3R}{8}$ (về phía chứa bán cầu). Em không hiểu cách giải trong sách nhưng em nghĩ có thể quy bài toán về việc tìm tâm tỷ cự của nửa đường tròn như đã nói ở trên. Em nghĩ bất đồng xảy ra ở chỗ công thức của anh novea tìm tâm (tỷ cự) của một khối đặc, trong khi bài toán chỉ xét những điểm nằm trên đường tròn.

Công thức mình đưa ra đúng cho vẫn có hình dạng bất kì bạn nhé. Và kết quả trong sách đã cho hoàn toàn đúng.

Thực ra bạn có hai sai lầm ở đây: Đầu tiên thì bài toán gốc yêu cầu tìm trọng tâm của bán cầu đặc, không phải là mặt bán cầu. Sai lầm tiếp theo là bạn cho rằng trọng tâm của một hình $A$ trùng với trọng tâm của hình nhận được khi cho $A$ quay quanh trục đối xứng của nó.

Có thể lấy ví dụ bởi chính bài toán này. Trọng tâm của nửa hình tròn bán kính $R$ (không phải nửa đường tròn) nằm trên trục đối xứng của nó, và cách tâm một khoảng $\dfrac{4R}{3\pi}$. Trong khi đó, trọng tâm của nửa hình cầu bán kính $R$, theo như bài toán trên, nằm trên trục đối xứng của nửa hình cầu và cách tâm một khoảng $\dfrac{3R}{8}$.

Ngoài ra, còn một cách tìm trọng tâm của nửa hình cầu như trong link sau: [Only registered and activated users can see links. ]. Ở đây ta tìm trọng tâm bằng cách chia nửa hình cầu thành các lát song song với mặt đáy của nó.

Bạn có thể tham khảo thêm phần 8.3 trong sách Calculus Early Transcendentals của James Stewart, hoặc phần 9.6 trong sách Fundamentals of Physics của Halliday, Resnick, Walker.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Cám ơn Novae đã trình bày cẩn thận. Bạn CTK9 lưu ý là khi tìm trọng tâm của vật khối thì bạn phải xác định được những điểm nào tham gia vào hệ để lấy trọng tâm. Mình không học vật lý, học ở SP chỉ có 2 tín chỉ vật lý và khi học thì nghỉ tới 1/2 số buổi (thầy nghỉ), nên mình không thể giải thích dễ hiểu được như Novae

Nhưng nếu đã học lý thuyết độ đo thì bạn sẽ thấy mọi thứ sẽ tự nhiên thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]