Thắc mắc về một lời giải

[tranthanhtam]

Trong tuyển tập các chuyên đề tổ hợp của math scope, ở ví dụ 5 phần 1, mình đã đọc nhiều lần lời giải này nhưng vẫn chưa hiểu, ai hiểu thì xin giải thích dùm mình được không vậy? xin cảm ơn.
Tìm số tập con có nhiều hơn n phần tử của tập $X=\left\{1,2,..,m+n+1\right\} $.
Giải: Gọi $A $ là tập con của $X $ thỏa đề bài thì $A=\left\{x_1,x_2,...,x_{n+i}\right\} $ với $1\leq i \leq m+1 $ và $x_1 < x_2 <...< x_{n+i} $ và $x_{n+1}=n+k+1 $ với $0 \leq k \leq m $. Để lập tập con loại này ta làm như sau:
Bước 1: Chọn n phần tử từ $n+k $ phần tử (với $0 \leq k \leq m $) ta có $C^n_{n+k} $ cách.
Bước 2: Bổ sung một tập con của tập $\left\{n+k+1,n+k+2,...,n+m+1\right\} $ ta có $2^{m-k} $ cách.
Do đó có $\sum_{k=0}^{m}C^{k}_{n+k}2^{m-k} $ tập con $A $ của $X $ có nhiều hơn $n $ phần tử.
Cho mình hỏi:
- Chọn $n $ từ $n+k $ phần tử, vậy $n+k $ phần tử ở đây là những phần tử nào?
- Bổ sung một tập con của tập $\left\{n+k+1,...,n+m+1\right\} $ đáng lẽ có $2^{m-k+1} $ cách chứ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[catbuilts]

*Chọn n phần tử từ n+k phần tử, vậy n+k phần tử ở đây là những phần tử nào?

n+k phần tử ở đây là n+k số đầu tiên (1,2,3,...,n+k)


*Bổ sung một tập con của tập $\left\{n+k+1,...,n+m+1\right\} $ đáng lẽ có $2^{m-k+1} $ cách chứ?

phần tử thứ n+1 chính là n+k+1 (tức cố định phần tử thứ n+1 này lại rồi, nên chỉ bổ sung tập con của tập (n+k+2,...,n+m+1) thôi (bạn xem ví dụ bên dưới, mình nói khó hiểu


Ví dụ cho k=3 đi, trong n+3 số đầu tiên từ 1 tới n+3. chọn n số bất kì.
số thứ n+1 bắt buộc là n+k+1=n+3+1=n+4.
Bổ sung 1 tập con của tập (n+5,...,n+m+1) {có thể ko bổ sung cũng dc (tức là bổ sung tập rổng) }. tập này có m-3 phần tử nên dc $2^{m-3} $ tập con.

khi k chạy lên 4, vẫn tương tự, chọn n số từ n+4 số đầu tiên. Do số thứ n+1 ta cố định là n+k+1=n+4+1=n+5, khác với số n+1 ở cách chọn trước, nên cách chọn này sẽ ko bị trùng. Làm tương tự ... $\square $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]