Việt Nam Team Selection Test 2011-Đề thi, Đáp án và Danh sách Đội tuyển

[chemthan]

*) Với $n\leq 5 $ dễ thấy $n=3,5 $.
*) Với $n>5 $.
$(2^{n+1}-1)^2-8.3^n=a^2 $
$(2^{n+1}+a-1)(2^{n+1}-a-1)=8.3^n $
Do đó tồn tại $l $ sao cho:
$2^{n+1}-1=3^l+2.3^{n-l} $.
Trường hợp $l=0,n $, ta có các phương trình:
$2^{n+1}-1=1+2.3^n $.
$2^{n+1}-1=3^n+2 $.
Trường hợp $l\neq 0,n $ suy ra:
$n $ lẻ, $l $ chẵn.
*) Nếu $3^l+2.3^{n-l}\vdots 3^3 $, suy ra $2^{n+1}-1\vdots 3^3 $.
Suy ra $n+1\vdots 2.3^2 $.
$\Rightarrow 2^{n+1}-1\vdots 2^{18}-1\vdots 2^9+1\vdots 2^6-2^3+1\vdots 19 $.
$\Rightarrow 19|3^l+2.3^{n-l} $.
Từ đó dễ thấy tồn tại số nguyên dương $x $ sao cho: $19|x^2+6 $, điều này là vô lý.
$\Rightarrow min(l,n-l)=1,2 $.
Ta đưa về các phương trình:
$2^{n+1}-1=3+2.3^{n-1} $
$2^{n+1}-1=9+2.3^{n-2} $
$2^{n+1}-1=3^{n-1}+6 $
$2^{n+1}-1=3^{n-2}+18 $
Dễ thấy tất cả đều vô nghiệm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]