|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
23-05-2020, 05:23 PM | #1 |
Super Moderator | Bổ đề Cantor Bổ đề Cantor phát biểu rằng một không gian mêtric là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng và đường kính tiến về zero thì có giao khác rỗng. Câu hỏi đặt ra là nếu thay giả thiết đường kính tiến về zero bởi dãy các đường kính bị chặn thì kết quả sẽ không đúng? Mình định tìm ra phản ví dụ mà nghĩ hoài chưa ra. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
The Following User Says Thank You to portgas_d_ace For This Useful Post: | quangtu123 (25-07-2020) |
25-07-2020, 09:33 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2014 Bài gởi: 11 Thanks: 3 Thanked 5 Times in 5 Posts | Giả sử không gian metric $X$ thỏa mãn mọi dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng với đường kính bị chặn đều có giáo không rỗng. Thế thì nói riêng, khẳng định này cũng đúng với các dãy giảm có đường kính tiến về $0$. Theo bổ đề Cantor, $X$ là không gian đầy đủ. Tuy nhiên điều ngược lại quả nhiên là không đúng. Bạn muốn tìm một không gian đầy đủ $X$ cùng với một dãy $U_i$ các tập con đóng, khác rỗng với đường kính bị chặn sao cho $\cap U_i=\emptyset$. Theo [Only registered and activated users can see links. ], $U_i$ sẽ phải là các tập không compact. Đóng và bị chặn mà không compact, chắc có thể tìm một phản ví dụ trong các không gian Hilbert. Thật vậy, đặt $U_i=\ell^2\cap\{\Vert x\Vert=1\}\cap \{x_1=\dots=x_i=0\}$. Thế thì $U_i$ là một dãy giảm các tập con đóng, khác rỗng, bị chặn với giao bằng rỗng. (Bổ đề: $U_i$ là một tập cong đóng. Chứng minh: $\{\Vert x\Vert=1\}$ là hình cầu đóng. $\{x_1=\dots=x_i=0\}\subset\mathrm{Span}(e_1,\dots ,e_i)^\perp$. Ngược lại, nếu $v\in\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^\perp$, $\langle v,e_i\rangle=0\implies x_i(v)=0$. Do đó $\{x_1=\dots=x_i=0\}=\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^ \perp$, là phần bù vuông góc của một không gian con, nên là đóng. $U_i$ là giao của hai tập đóng, nên cũng đóng.) |
The Following User Says Thank You to quangtu123 For This Useful Post: | portgas_d_ace (29-07-2020) |
Bookmarks |
|
|