Chứng minh chuỗi hội tụ

[chuongdktd]

Chứng minh rằng với $0<x<1 $, thì chuỗi có số hạng tổng quát $\frac{x^n}{n} $ hội tụ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi chuongdktd

Chứng minh rằng với $0<x<1 $, thì chuỗi có số hạng tổng quát $\frac{x^n}{n} $ hội tụ

Hàm $f(n) = \dfrac{x^n}{n} $ giảm trên $[1, \; \infty).
$
Với $x \in (0, 1) $ thì $\ln x < 0 $, do đó:

$\displaystyle \int_1^\infty \dfrac{x^n}{n} \, \mbox{d}n = \displaystyle \int_1^\infty \dfrac{e^{n\ln x}}{n} \, \mbox{d}n = \Gamma \left(0, \; - \ln x \right) \in \mathbb{R} $

Do đó, chuỗi trên hội tụ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuongdktd]

Nguyên văn bởi sang89

Hàm $f(n) = \dfrac{x^n}{n} $ giảm trên $[1, \; \infty).
$
Với $x \in (0, 1) $ thì $\ln x < 0 $, do đó:

$\displaystyle \int_1^\infty \dfrac{x^n}{n} \, \mbox{d}n = \displaystyle \int_1^\infty \dfrac{e^{n\ln x}}{n} \, \mbox{d}n = \Gamma \left(0, \; - \ln x \right) \in \mathbb{R} $

Do đó, chuỗi trên hội tụ.

Bạn có thể chỉ rõ hơn về cái tích phân này được không?
Nhìn nó lạ lạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]