Tính giới hạn hàm số

[kydinh93]

Tính giới hạn $\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a} (a>0) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[arshavin]

Theo mình áp dụng quy tắc L'Hopital thì ta được:
$ \lim_{x\rightharpoonup a}=a^{a} $. ( không biết có đúng không! )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ancv93]

Bạn viết $x^x=e^{x\ln x} $ rồi đạo hàm là ra!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuseok]

Nếu không dùng L'Hospitale thì có thể làm theo cách thay VCB tương đương như sau:

$L= \lim_{x\to a} \frac{x^{^{x}}-a^{a}}{x-a} $

Đặt $t=x-a $
Khi $x\rightarrow a $ thì $t\rightarrow 0 $

$L= \lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{(t+a)}-a^{a}}{t} $

Chia cả tử và mẫu cho $a^{a} $

Sau một số bước biến đổi sẽ ra được như sau

$L=\lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}((1+\frac{t}{a})^{a}-1)}{t.a^{a}} + \lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}-1}{t.a^{a}} $

Thay VCB tương đương ${((1+\frac{t}{a})^{a}-1)}\sim {a.\frac{t}{a}} $ và biểu diễn ${(t+a)^{t}-1} $ thành ${e^{t.ln(t+a)}-1 $ rồi thay bằng VCB tương đương ${t. ln(t+a)} $

Ta sẽ được

$L=\lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}{a.\frac{t}{a}}}{t.a^{a}} + \lim_{t\to 0} \frac{t.ln(t+a)}{t.a^{a}} $

$ = \frac{1 + lna}{a^{a}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[viet_fe]

Nguyên văn bởi chuseok

Nếu không dùng L'Hospitale thì có thể làm theo cách thay VCB tương đương như sau:

$L= \lim_{x\to a} \frac{x^{^{x}}-a^{a}}{x-a} $

Đặt $t=x-a $
Khi $x\rightarrow a $ thì $t\rightarrow 0 $

$L= \lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{(t+a)}-a^{a}}{t} $

Chia cả tử và mẫu cho $a^{a} $

Sau một số bước biến đổi sẽ ra được như sau

$L=\lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}((1+\frac{t}{a})^{a}-1)}{t.a^{a}} + \lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}-1}{t.a^{a}} $

Thay VCB tương đương ${((1+\frac{t}{a})^{a}-1)}\sim {a.\frac{t}{a}} $ và biểu diễn ${(t+a)^{t}-1} $ thành ${e^{t.ln(t+a)}-1 $ rồi thay bằng VCB tương đương ${t. ln(t+a)} $

Ta sẽ được

$L=\lim_{t\to 0} \frac{(t+a)^{t}{a.\frac{t}{a}}}{t.a^{a}} + \lim_{t\to 0} \frac{t.ln(t+a)}{t.a^{a}} $

$ = \frac{1 + lna}{a^{a}} $

Cú chia cả tử và mẫu cho $a^{a} $ bạn biến đổi nhầm rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuseok]

Nguyên văn bởi viet_fe

Cú chia cả tử và mẫu cho $a^{a} $ bạn biến đổi nhầm rồi.

Ừ ha, sai một li đi luôn cả dặm ;_;

Vậy thì đáp án là $a^{a}. (lna + 1) = a^{a}. ln (ae) $ giống của bạn Bangtringuyen
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BangTriNguyen]

Mình tính ra Kết quả là $a^a $.ln(ae).
Thử lại thấy đúng mà.....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhnguyendhy]

Nguyên văn bởi kydinh93

Tính giới hạn $\lim_{x\to a}\frac{x^x-a^a}{x-a} (a>0) $.

Mình xin làm bài này như sau.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^x} - {a^a}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^x} - {x^a}}}{{x - a}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^a} - {a^a}}}{{x - a}} = {A_1} + {A_2} $

$*\,\,{A_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^x} - {x^a}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{e^{x\ln x}} - {e^{a\ln x}}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{e^{a\ln x}}\left( {{e^{\left( {x - a} \right)\ln x}} - 1} \right)}}{{x - a}} $

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{e^{a\ln x}}\left( {x - a} \right)\ln x}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {{e^{a\ln x}}\ln x} \right) = \boxed{{a^a}\ln a} $

$*\,\,{A_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^a} - {a^a}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{a^a}\left( {{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^a} - 1} \right)}}{{x - a}}\mathop = \limits_{t = x - a} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{a^a}\left[ {{{\left( {1 + \frac{t}{a}} \right)}^a} - 1} \right]}}{t} $

$= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{a^a}a\frac{t}{a}}}{t} = \boxed{{a^a}} $

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^x} - {a^a}}}{{x - a}} = {a^a}\ln a + {a^a} = {a^a}\left( {\ln a + \ln e} \right) = \boxed{{a^a}\ln \left( {ae} \right)} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BangTriNguyen]

Dùng lopitan ngay từ đầu vẫn được đó bạn à. Chú ý cách tính đạo hàm của $x^x $ là được.
------------------------------
Ta tính đạo hàm của $x^x $ như sau:
$y=x^x $. Lấy $\ln $ 2 vế $\ln y=\ln x^x $
$\Leftrightarrow \ln y = x\ln x $
$\Leftrightarrow \frac{y'}{y}=(1+\ln x) $ (Đạo hàm 2 vế)
Suy ra $y'=(\ln x+1)x^x $
Rồi dùng lopitan tính bình thường là ra ngay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhnguyendhy]

Nguyên văn bởi BangTriNguyen

Dùng lopitan ngay từ đầu vẫn được đó bạn à. Chú ý cách tính đạo hàm của $x^x $ là được.
------------------------------
Ta tính đạo hàm của $x^x $ như sau:
$y=x^x $. Lấy ln 2 vế lny=ln$x^x $
<=> lny = xlnx
<=>$ \frac{y'}{y}=(1+lnx) $ (Đạo hàm 2 vế)
Suy ra y'=(lnx+1)$x^x $
Rồi dùng lopitan tính bình thường là ra ngay.

Mình trình bày cách trên để mọi người tham khảo trong trường hợp không dùng L'Hospital.
Nếu dùng L'Hospital thì quá đơn giản
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kydinh93]

Hãy giải bài này mà không dùng quy tắc L'Hospitale
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuongdktd]

Nguyên văn bởi peterpans01

cái này bằng đạo hàm của hàm x^x tại x=a. phần tính đạo hàm bạn tự làm nhé. chắc ko cần phải làm nữ rồi.

Nhưng làm thế nào để tìm được đạo hàm của $x^x $ à bạn, mình làm mãi mà không ra?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi chuongdktd

Nhưng làm thế nào để tìm được đạo hàm của x^x à bạn, mình làm mãi mà không ra?

Đặt $y = x^x $ rồi suy ra $\ln y = x \ln x $

Đến đây lấy đạo hàm 2 vế là xong.

$ \dfrac{d}{dx} x^x = x^x (1+\ln x) $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]