$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$

gd1468 · 30-05-2012, 05:30 PM

Xét sự hội tụ của chuỗi số:

$$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$ $

Thầy mình hướng dẫn áp dụng "Căn số Cauchy" , mình làm theo nhưng giải ra 1. Mà trong định luật "Căn số Cauchy" thì 1 không xác định, chỉ có >1 hoặc <1 thôi. Các bạn giúp mình với, thanks !

99 · 30-05-2012, 05:38 PM

Hạng tử chuỗi của bạn có dạng $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$, có gì đó rất giống số $e.$ Cách tiếp cận là cố gắng so sánh hạng tử này với $\displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}$ (với $\alpha$ là hằng số thích hợp).

Bạn thử xét hàm $\displaystyle\left(1-x\right)^{\frac{1}{x^2}}$ với $0< x < \epsilon$ đủ nhỏ (khi khảo sát hàm này nhớ lấy logarithm, không là toi đấy

).

tr.phuoctoan · 30-05-2012, 06:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi gd1468

Xét sự hội tụ của chuỗi số:

$$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$ $

Thầy mình hướng dẫn áp dụng "Căn số Cauchy" , mình làm theo nhưng giải ra 1. Mà trong định luật "Căn số Cauchy" thì 1 không xác định, chỉ có >1 hoặc <1 thôi. Các bạn giúp mình với, thanks !

Bạn kiểm tra lại xem giới hạn $ \left (\frac{3n-2}{3n+2}\right )^{n} $ khi $n \longrightarrow \infty $ có thật bằng 1 không ???

coban · 30-05-2012, 06:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi gd1468

Xét sự hội tụ của chuỗi số:

$$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$ $

Thầy mình hướng dẫn áp dụng "Căn số Cauchy" , mình làm theo nhưng giải ra 1. Mà trong định luật "Căn số Cauchy" thì 1 không xác định, chỉ có >1 hoặc <1 thôi. Các bạn giúp mình với, thanks !

Bạn áp dụng dấu hiệu căn Cauchy sai rồi

, ta có:
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{3n+2}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac{4}{3n+2}\right)^{\frac{-3n-2}{4}}\right]^{\frac{-4n}{3n+2}}= e^{\frac{-4}{3}} < 1 $
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ

30-05-2012, 05:30 PM	#1
gd1468 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$ Xét sự hội tụ của chuỗi số: $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{3n-2}{3n+2} \right )^{n^{2}}$ $ Thầy mình hướng dẫn áp dụng "Căn số Cauchy" , mình làm theo nhưng giải ra 1. Mà trong định luật "Căn số Cauchy" thì 1 không xác định, chỉ có >1 hoặc <1 thôi. Các bạn giúp mình với, thanks !

30-05-2012, 05:38 PM	#2
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Hạng tử chuỗi của bạn có dạng $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$, có gì đó rất giống số $e.$ Cách tiếp cận là cố gắng so sánh hạng tử này với $\displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}$ (với $\alpha$ là hằng số thích hợp). Bạn thử xét hàm $\displaystyle\left(1-x\right)^{\frac{1}{x^2}}$ với $0< x < \epsilon$ đủ nhỏ (khi khảo sát hàm này nhớ lấy logarithm, không là toi đấy ).