VMO Preparation: Đề luyện số 1

[Coloveka]

Gởi trực tiếp lên forum được không thầy ?
Em không biết gởi email !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Không biết thì học 1 chút. Thời đại này mà không biết dùng email thì chết rồi .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngocson_dhsp]

Thầy giáo ơi.đã qua ngày 26 vậy bao giờ thì có đề 2 a?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Thầy Nam Dũng đã nói là 2 tuần 1 đề, bây giờ mới được 1 tuần, bạn đợi thêm 1 tuần nữa nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tổng kết lời giải bài luyện số 1.

Có 15 bạn gửi bài giải, trong đó các bạn sau có lời giải tốt nhất:
1) Hồ Phi Nhạn, Lớp 12 chuyên toán trường LHP, Tp HCM
2) Từ Nguyễn Thái Sơn, Lớp 12 chuyên toán trường PTNK, ĐHQG Tp HCM
3) Lê Văn Thành, Lớp 11 chuyên toán trường LHP, Tp HCM

Chúng tôi gửi đính kèm lời giải của bạn HPNhan và bạn TNTSon.

Sau đây là một số nhận xét về các đề toán và các lời giải

Bài 1. Đây là một bài toán khá đơn giản. Cách giải quyết tự nhiên nhất là dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Một số bạn sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 cũng cho kết quả (điều này cũng dễ hiểu vì CBS liên quan đến tam thức bậc 2). Một số bạn còn chưa cẩn thận trong việc kết luận điều kiện xảy ra dấu bằng. Thực ra, trong việc tìm max, ta chỉ cần đánh giá f <= M và chỉ ra 1 trường hợp xảy ra dấu bằng là đủ.

Bạn Lê Việt Hải đã tổng quát hóa bài này thành tìm min, max của P = ax + by + cz.

Bài này được lấy từ Tạp chí toán học và tuổi trẻ, số 5/1984, tác giả Lê Quốc Hán.

Một bài tập tương tự: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện
$ x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z $Tìm min, max của P = x + 2y + 3z.

(Còn tiếp)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Bài bất đẳng thức có thể làm như sau:
Ta có:
từ đk ta có:
$x^2+y^2+z^2+2yz=2-2x^2-y^2-z^2 $
$P^2=(x^2+y^2+z^2+2yz)+2x(y+z) $
$=2-2x^2-y^2-z^2+2xy+2xz $
$=2-(x-y)^2-(x-z)^2\le 2 $
=>$-\sqrt{2}\le P\le \sqrt{2} $
=>$minP=-\sqrt{2} $
khi $x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3} $
$maxP=\sqrt{2} $
khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Nhận xét (tiếp theo)

Bài 2. Đây cũng là một bài toán khá đơn giản về mặt phương pháp. Dãy $a_n $ tăng là rõ ràng và ta chỉ còn cần phải chứng minh $a_n $ bị chặn. Có hai hướng đi cơ bản:
1) Chứng minh $a_n < 2 $ bằng phương pháp quy nạp toán học
2) Chứng minh $P_n = (1+\frac{1}{1.2})(1 +\frac{1}{2.3})...(1+\frac{1}{(n-1).n}) $. Để chứng minh điều này, có thể dùng BDT AM-GM, sau đó dùng (1+1/n)^n < e, hoặc dùng bất đẳng thức ln(1+x) < x.

Một số bạn làm bài này chưa hoàn chỉnh hoặc thiếu chính xác. Ví dụ bạn vuonglongthien chỉ đưa bài toán đến chứng minh $P_n $ bị chặn rồi dừng lại ở đó. Bạn Trần Quang Đại sử dụng đến cả định lý Stolz trong lời giải nhưng lại mắc một sai lầm quan trọng khi cho rằng nếu $lim(a_{n+1}-a_n) = 0 $ thì dãy $a_n $ có giới hạn.

Bài này là đề thi chọn học sinh giỏi của ĐHSP HN năm 2000.

Bài 3. Như một bài hình học bất kỳ, bài này có nhiều cách giải, trong đó ngắn gọn nhất là dùng phép nghịch đảo (xem lời giải của TNTSon). Ngoài ra có những cách giải khác sử dụng đến các khái niệm liên quan như tam giác đồng dạng, phương tích, tỷ số diện tích, cực đối cực.

Bài 4. Bài này tuy phương pháp đã trở thành khá quen thuộc nhưng số bạn làm hoàn chỉnh bài này không nhiều. Lý do là các bạn làm tắt hoặc phán ẩu. Một số lỗi cơ bản:
1) Cho rằng các nghiệm đưa ra là hiển nhiên khác các nghiệm đã có
2) Từ nghiệm (x_0, y_0) xây dựng được 1 nghiệm khác đã vội kết luận là mệnh đề đúng.

Lời giải đúng phải dựa vào việc xét trường hợp cùng dấu và trái dấu của nghiệm $(x_0, y_0) $.

Còn 1 cách tiếp cận khác là đưa về phương trình Pell $(2x+y)^2 - 5y^2 = 4n $.

Các bạn tham khảo các lời giải của Sơn, Nhạn để tự "bắt lỗi".

Phương pháp giải trong bài này được gọi là "bước nhảy Viét" hoặc phương pháp gien.

Bạn Trần Quang Đại chỉ ra rằng bài này tương tự với bài IMO 1981:

Tìm giá trị lớn nhất của $m^2 + n^2 $ biết m, n là các số nguyên dương được chọn từ các số 1, 2, ..., 1981 và là nghiệm của phương trình $(m^2 - mn - n^2)^2 = 1 $.

Tương tự với phương pháp sinh nghiệm, tại IMO 1982 cũng có 1 bài, nhưng là phương trình bậc 3.

Chứng minh rằng nếu với số nguyên dương n phương trình
$ x^3 - 3xy^2 + y^3 = n $có nghiệm nguyên (x, y) thì nó có ít nhất 3 nghiệm nguyên. Chứng minh rằng phương trình trên không có nghiệm với n = 2891.

Bài 5. Đa số các bạn dùng phương pháp tô màu hoặc đánh số để chứng minh điều kiện cần, sau đó chỉ ra cách phủ để chứng minh điều kiện đủ.

Với các bài toán dạng này chứng minh sự không phủ được bằng cách xét các trường hợp thường thiếu chặt chẽ và vì vậy khả năng thành công là không cao.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]