Kỳ Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học - Đề Thi, Đáp Án và Kết Quả

[ThangToan]

Có ai làm được bài tổ hợp không ạ???
em thấy bài này khá cơ bản, không biết hướng làm như thế nào?
------------------------------
Bài 1 có lẽ là chứng minh quy nạp, bài 2 chứng minh dãy tăng bị chặn trên bởi 4
không biết có đúng không nhỉ????

Bài 2 có thể làm như sau:
Câu 2. Từ công thức truy hồi của dãy suy ra:
$x_{n+1}=(1+\frac{1} {n^2})(1+\frac{1}{n})x_n=(1+\frac{1}{n^2})(1+\frac {1}{n})...(1+\frac{1}{1^2})(1+\frac{1} {1}) $.
Nhận xét. Bằng quy nạp ta chứng minh được:
vá»›i $n\ge1: (1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n-1})...(1+\frac{1}{1})\le 2n $.
Ta có $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})x_n $ (1)
Chú ý $x_n\le 2n(1+\frac{1}{1^2})...(1+\frac{1}{n^2}) $ (2).
Nhận thấy $\ln((1+\frac{1}{1^2})...(1+\frac{1}{n^2}))=\ln(1+\ frac{1}{1^2})+...+\ln(1+\frac{1}{n^2})<\frac{1} {1^2}+...+\frac{1}{n^2}<2 $
Nên từ (2) ta có: $x_n<2n.e^2 $ và từ (1) ta có:
$y_n<\frac{1}{n}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})x_n<6e ^2 $. Do đó dãy ${y_n} $ tăng và bi chặn trên nên có giới hạn
------------------------------
Câu 2 của đề tác giả bài toán chắc lấy ý tưởng từ bài toán quen thuộc:
Xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi:
$x_1+x_2+...+x_n=n^2x_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Đề này ngồi ngoài làm thấy nhẹ nhàng
Bài 1 :
Sử dụng quy nạp ta đưa về cm :
$ \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1} \le \frac{( x+1)^2}{4} .\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} $
$\frac{( x^n+1)(x^{n+2}+1)}{(x^{n+1}+1)^2} \le \frac{ (x+1)^2 }{4x} $
$ \frac{ x^n(x-1)^2}{ ( x^{n+1}+1)^2 } \le \frac{ (x-1)^2}{4x} $
$4x^{n+1} \le (x^{n+1}+1)^2 $
hiển nhiên đúng
Bài 2:
$x_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n+ \sum^{n-1}_{i=1}x_i )=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n + \frac{(n-1)^2}{2n}x_n )=\frac{ n+1 }{n}.\frac{n^2+1}{n^2} x_n $
Vậy ta suy đuợc 2 điều sau :
+ $y_{n+1}=\frac{ n^2+n+1}{n^2}. \frac{x_n}{n} $
+ $\frac{x_{n+1}}{n+1}=\prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $

Việc còn lại là chứng minh $z_n= \prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $
Mà bài này thì ai từng học qua giới hạn đều gặp cả

Bài 3
a) Pascal
b)Không cần quan tâm đến mấy điểm E,D thì thấy bài này đủ hết các yếu tố để xài Ceva .Cách hình học thì chưa nghĩ ra
Bài 4
Ý tưởng lộ rõ khi nhắc đến 2 đường chéo $AC $ và $AD $.Nối 2 đường chéo ấy lại , ta chia ngũ giác ra làm 3 tam giác .Từ đây xài bài toán phụ : Tam giác có 3 cạnh nhỏ hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác ấy bị phụ kín bởi các hình tròn đơn vị có tâm ở các đỉnh

Bài dãy mới làm được cái $y_{n+1} $ đó.Y hệt kiểu VMO 2009.
Ra được công thức của dãy phụ luôn chứ không phải dùng Vaier Strass.Anh Rưc cũng chưa xong bài này.

$z_n $ dùng định lý giới hạn tương đương

Bạn này có cách giải bài 4 khá gọn, nếu ai biết cái bổ đề tam giác có 3 cạnh < hơn căn 3 (có nhiều trong các tài liệu hình Tổ hợp) thì bài 4 dễ hơn cả bài 1,2

Anh Minh bảo bài 4 dễ nhất đề.Newbie năm nay TST chắc rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[IMO]

Đề này ngồi ngoài làm thấy nhẹ nhàng
Bài 1 :
Sử dụng quy nạp ta đưa về cm :
$ \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1} \le \frac{( x+1)^2}{4} .\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} $
$\frac{( x^n+1)(x^{n+2}+1)}{(x^{n+1}+1)^2} \le \frac{ (x+1)^2 }{4x} $
$ \frac{ x^n(x-1)^2}{ ( x^{n+1}+1)^2 } \le \frac{ (x-1)^2}{4x} $
$4x^{n+1} \le (x^{n+1}+1)^2 $
hiển nhiên đúng
Bài 2:
$x_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n+ \sum^{n-1}_{i=1}x_i )=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n + \frac{(n-1)^2}{2n}x_n )=\frac{ n+1 }{n}.\frac{n^2+1}{n^2} x_n $
Vậy ta suy đuợc 2 điều sau :
+ $y_{n+1}=\frac{ n^2+n+1}{n^2}. \frac{x_n}{n} $
+ $\frac{x_{n+1}}{n+1}=\prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $

Việc còn lại là chứng minh $z_n= \prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $
Mà bài này thì ai từng học qua giới hạn đều gặp cả

Bài 3
a) Pascal
b)Không cần quan tâm đến mấy điểm E,D thì thấy bài này đủ hết các yếu tố để xài Ceva .Cách hình học thì chưa nghĩ ra
Bài 4
Ý tưởng lộ rõ khi nhắc đến 2 đường chéo $AC $ và $AD $.Nối 2 đường chéo ấy lại , ta chia ngũ giác ra làm 3 tam giác .Từ đây xài bài toán phụ : Tam giác có 3 cạnh nhỏ hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác ấy bị phụ kín bởi các hình tròn đơn vị có tâm ở các đỉnh

Bạn này có cách giải bài 4 khá gọn, nếu ai biết cái bổ đề tam giác có 3 cạnh < hơn căn 3 (có nhiều trong các tài liệu hình Tổ hợp) thì bài 4 dễ hơn cả bài 1,2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Đáng lo nhất bây giờ là đội tuyển Sư Phạm Hà Nội.Chả thấy tăm hơi đâu cả,hẹn

mấy ng bạn rồi mà.
Bạn nào làm cụ thể bài 4 hộ với để còn cho nó cái hyperlink vào trang 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Lâm Đồng tạch rồi, cao nhất chỉ dc 2 bài.
Bài dãy làm sao vậy các bạn????????? khó chịu kinh khủng

Từ đề bài ta có:$x_n>0 $ với mọi n
$\sum_{i=1}^{n-1}x_i=\frac{x_n(n-1)^2}{2n} $
=>$\sum_{i=1}^nx_i=\frac{x_n(n^2+1)}{2n}=\frac{x_{n+1 }n^2}{2(n+1)} $
=>$\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{n^3}{(n+1)(n^2+1)} $
=>$x_n(n^2+n+1)=y_nn^3 $
=>$y_n=\frac{x_n(n^2+n+1)}{n^3}>0 $
Ta chứng minh dãy {$y_n $} tăng
hay $\frac{y_{n+1}}{y_n}>1 $
<=>$\frac{x_{n}}{x_{n+1}}<\frac{n^3(n^2+3n+3)}{(n+1)^3 (n^2+n+1)} $
<=>$\frac{n^3}{(n+1)(n^2+1)}<\frac{n^3(n^2+3n+3)}{(n+1 )^3(n^2+n+1)} $
quy đồng rút gọn
<=>$n^2+2n+2>0 $ (đúng)
tiếp theo chứng minh
$y_n<4 $ với mọi n
hay $\frac{x_n(n^2+n+1)}{n^3}<4 $
hay cần chứng minh:
$\sum_{i=1}^{n-1}x_i<\frac{2n^2(n-1)^2}{n^2+n+1} $ với mọi $n\ge 2 $
cái này dùng quy nạp (cách củ chuối thật)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Bác Toàn nghe bảo làm tốt lắm mà

Bài 4 em chỉ ra hướng, còn không chứng minh cái bổ đề( rụng như mít)

tạch vì mai đề khó kiểu gì cũng thi xịt,
mai có số học với tổ hợp (or hình học) chắc chắn là khó rồi,còn bài đại số thì chắc lại giống cái bài 1 năm ngoái,không tạch hơi phí
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khoile101]

Đề cũng khá dễ thở,cứ tưởng khó lắm.bài 1 quy nạp,bài 2 biểu diễn yn qua xn và n,yn tăng và bị chặn bởi 4=> có giới hạn,khá rắc rối.bai hình ko khó.bài tổ hợp chắc chứng minh dùng tối thiểu 5 hình tròn đơn vị để bao ngũ giác,đoán thế.2 bài la ngon rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[herr.casanova]

Bạn nào làm cụ thể bài 4 hộ với để còn cho nó cái hyperlink vào trang 1

Cách làm của mình:

Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác, khi đó trong các tia OA, OB, OC không có tia nào là tia nằm trong góc được tạo bởi hai tia còn lại. (dễ dàng chứng minh được điều này)

Bổ đề 2: Cho tam giác ABC với các cạnh không lớn hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác này được phủ bởi ba đường tròn đơn vị có tâm là A, B và C.

Chứng minh BĐ2:
Phát biểu khác: có một điểm M nằm trong tam giác ABC thỏa mãn MA, MB, MC đều lớn hơn 1 thì tam giác đó có một cạnh lớn hơn $\sqrt{3} $.
Gọi các điểm, A', B', C' là các điểm trên các tia MA, MB, MC sao cho MA' = MB' = MC' = 1. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được A'B' < AB, B'C' < BC, C'A' < CA. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trong các cạnh A‘B'C' có một cạnh có độ dài không bé hơn $\sqrt{3} $. Áp dụng bổ đề 1 ta có A‘B'C' nội tiếp đường tròn tâm M bán kính 1 và là một tam giác nhọn. Trong các góc B'MC', C'MA', A'MB' sẽ có một góc không bé hơn 120 độ, không mất tính tổng quát giả sử đó là góc B'MC', khi đó B'C' sẽ không bé hơn $\sqrt{3} $, bổ đề được chứng minh.

Áp dụng bổ đề 2 cho các tam giác ABC, ACD, AED ta sẽ suy ra trong 2011 điểm đã cho không có điểm nào nằm ngoài 5 đường tròn đơn vị có tâm là A, B, C, D, E. Áp dụng nguyên lý Dirichlet suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khicon]

Công nhận bài dãy khó chịu thật, ngồi bỏ mất hơn 3 chục phút, nghĩ ra chứng minh xn<=4(n-1)với mọi n>=2=>>yn <4 cũng lòi mắt...Còn bài Hình tì câu b đu đi tìm k/c max của M đến AB=>>nản

em làm bài này mất gần 2 tiếng, công nhận mò ra được cái 4(n-1) cũng kỳ công thật
chứng minh được cái này (quy nạp) thì xong luôn y(n) bị chặn trên bởi 4, quá đẹp, thấy mấy bác đánh giá qua e, đúng là kinh khủng thật
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[meomeomeo]

Poker face.huhuhuhuhuu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[4eyes_l0vely]

Haizzz.....năm nay 2.5 bài chax đi lun wá
thi xong về bị sử è cổ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khicon]

Haizzz.....năm nay 2.5 bài chax đi lun wá
thi xong về bị sử è cổ

mình nghĩ 2.5 bài ngày 1 đâu quá tồi, còn ngày 2 mà (chí ít là với những người kém như em, mục tiêu chỉ là giải 3)
hôm nay bất đẳng thức, ngày mai dễ là pt hàm lắm nhỉ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ltdung_t2k19]

Đề cũng khá dễ thở,cứ tưởng khó lắm.bài 1 quy nạp,bài 2 biểu diễn yn qua xn và n,yn tăng và bị chặn bởi 4=> có giới hạn,khá rắc rối.bai hình ko khó.bài tổ hợp chắc chứng minh dùng tối thiểu 5 hình tròn đơn vị để bao ngũ giác,đoán thế.2 bài la ngon rồi

Ak ak, khôi lè ơi, nói rứa chơ vô phòng thi hoa mắt i, bài 1 đầu cứ tưởng cô si bunhia thuần túy chơ ai ngờ quy nạp lại ra. Một cì bài dãy tì cò lẹ phải mất gần 1 tiếng. Bài hình cụng ko khó mấy. Đề nói chung hơi dài, mất gần 2/3 vô 1 với 2 rồi Còn bài 4 thì có ý tưởng đó rồi mà ko có thời gian chứng minh nựa. Hjc hjc~~
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HuongNhat]

PTH ở phân môn nào nhỉ
Bài 4 nêu bổ đề nhưng cm sai thì có điểm không nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khicon]

PTH ở phân môn nào nhỉ
Bài 4 nêu bổ đề nhưng cm sai thì có điểm không nhỉ

phương trình hàm ko liên tục phân môn đại số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]