VMO 2017 - Đề thi, đáp án và bình luận

[huynhcongbang]

Kỳ thi HSG QG 2017 diễn ra vào hai ngày 05-06/01/2017 vừa qua đã khép lại cách đây gần 3 tuần và kết quả cũng vừa được công bố.

Đề năm nay có cấu trúc tương tự năm trước và có một số đặc điểm như sau:

1) Phần hình học gồm 2 câu với vai trò ảnh hưởng quan trọng.
2) Trong tổ hợp, nội dung về graph đã được đề cập, điều mà rất lâu rồi không xuất hiện trong kỳ thi QG (chỉ có ở vòng 2 - TST).
3) Số học một lần nữa lại đánh dấu dạng mới khi có bài toán về hệ số nhị thức, cần phải có các biến đổi liên quan đến đồng dư thức của phân số và các định lý số học quen thuộc.
4) Các nội dung về dãy số, đa thức, PTH không mới nhưng lại là yếu tố quyết định giải cho kỳ thi này.

Trong file đính kèm là đề thi và lời giải, bình luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017

Ngày thi thứ nhất 05/01/2017

Bài 1 . (5,0 điểm) Cho $a$ là số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1} u_n+\frac{1}{4}}\forall n\in\mathbb{N^{*}}$$

a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(u_n)$ xác định và có giới hạn hữu hạn

Bài 2 . (5,0 điểm)

Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn :

$$\left\{\begin{matrix} P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2} & & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5} & & \end{matrix}\right.$$

Bài 3 . (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$

b) Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy

Bài 4 . (5,0 điểm)

Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left [ -k;k \right ]$

(ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền
trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới

b) Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối

Ngày thi thứ hai 06/01/2017

Bài 5 . (6,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$

với mọi số thực $x,y$

Bài 6 . (7,0 điểm)

Chứng minh rằng:

a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )

b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )

Bài 7 . (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )

a) Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy

b) Cho $D$ là một điểm thuộc cung $BOC$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định.

Nguồn: diendantoanhoc.net.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]