HÆ°á»›ng tá»›i Vietnam TST 2018

[supercht_no1]

Lời giải bài 6
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MATHSCOPE]

Lời giải bài 6

Up lại ảnh đi bạn nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 4 - Ngày 1, 1/3/2018

1. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE, \,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,\, N$ lần lượt là trung điểm $BC, \,AM$. Đoạn thẳng $AM$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $K$ và cắt đoạn $EF$ tại $P$. Đường tròn đường kính $AK$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $L$ khác $K$ và $J$ là tâm đường tròn $(APL)$. Chứng minh rằng $JN\parallel BC$.

2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số nguyên và hệ số cao nhất dương và đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện$$ xP^2(x) + P(x) = \left(x^3 - x\right)Q^2(x) \quad\forall\,x\in\mathbb R.$$
3. Có $40$ đội bóng đã thi đấu với nhau $80$ trận. Hai đội bất kỳ thi đấu với nhau không quá $1$ trận. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho dù các trận đấu đã diễn ra giữa những đội bóng nào, luôn tìm được $n$ đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.

PS. File pdf của đề thi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung.vx]

Đề 3 - Ngày 2, 24/2/2018

6. Cho số nguyên $n \ge 2$. Dãy số dương $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ được gọi là siêu tăng nếu thỏa mãn điều kiện $$ a_k \ge a_{k-1} +... + a_1 \quad\forall\,k:\;2 \le k \le n.$$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}} $ với $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ là một dãy siêu tăng.

PS. File pdf tổng hợp đề 3, download bên dưới.

Khi $n=2$, rỏ ràng giá trị lớn nhất là $1$. Ta xét $n\geq 3$, ta chứng minh bằng quy nạp theo $n\geq 3$ bài toán sau: $$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}}\leq \frac{a_1-a_2}{2a_2}+\frac{n}{2}. $$
Thật vậy, khi $n=3$, ta dễ dàng chứng minh được
$$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}\leq \frac{3}{2}+\frac{a_1-a_2}{2a_2}.$$
Xét $n\geq 4$, đặt $b_1=a_1+a_2$, $b_2=a_3$,... ,$b_{k}=a_{k+1}$,...,$b_{n-1}=a_n$. Khi đó $\left\{b_k\right\}_{k=1}^{n-1}$ cũng là một dãy siêu tăng gồm $n-1$ số hạng. Ta có
$$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}} =\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_1}{a_3}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{b_2}{b_3}+.. ..+\frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}.$$
Kết hợp với giả thiết quy nạp, ta được
$$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}}\leq \frac{a_1}{a_2}-\frac{a_1}{a_3}+\frac{b_1-b_2}{2b_2}+\frac{n-1}{2}.$$
Ngoài ra ta cũng dễ dàng chứng minh được
$$\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_1}{a_3}+\frac{b_1-b_2}{2b_2}\leq \frac{a_1-a_2}{2a_2}+\frac{1}{2}.$$
Hay
$$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}}\leq \frac{a_1-a_2}{2a_2}+\frac{n}{2}.$$
Vậy giá trị lớn nhất của $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}}$ bằng $\dfrac{n}{2}$. Dấu bằng xãy ra chẵn hạn khi $a_1=a_2=1,a_3=2,..., a_k=2^{k-1},...,a_n=2^{n-1}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[theunknown]

Bài 3 đề 4 ngày 1:

Ta phát biểu lại bài toán dưới dạng đồ thị (Graph) như sau: Xét một Graph $G$ có $40$ đỉnh và $80$ cạnh. Tìm $n$ lớn nhất để luôn tồn tại một tập độc lập có $n$ đỉnh. ( Một tập độc lập là tập các đỉnh mà hai đỉnh bất kì không có cạnh nối).
Ta phát biểu bổ đề sau: (Caro-Wei) Xét graph $G$ có bậc các đỉnh lần lượt là $d_1,d_2,...,d_n$. Khi đó tồn tại một tập độc lập có không ít hơn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_i+1}$.

Ta quay lại bài toán trước: Ta dễ thấy rằng

$d_1+d_2+...d_{40}=2*80=160$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum_{i=1}^{40}\frac{1}{d_i+1}\geq \frac{40^2}{\sum_{i=1}^{40}d_i+40}=8$

Theo bổ đề thì tồn tại một tập độc lập có không ít hơn $8$ đỉnh. Ta sẽ chỉ ra rằng $n=8$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Một ví dụ cho một Graph có các tập độc lập có số đỉnh không vượt quá $8$ là: Ta chia $40$ đỉnh thành $5$ tập, mỗi tập $8$ đỉnh. Ta đánh dấu mỗi đỉnh trong từng tập bằng các số từ $1$ đến $8$. Giữa hai đỉnh nằm trong cùng một tập ta sẽ không nối cạnh nào và giữa các đỉnh của hai tập khác nhau ta nối đúng $8$ cạnh sao cho hai đỉnh khác nhau được nối khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số được đánh dấu. Dễ thấy cách nối này thỏa mãn một Graph có $n=8$ (thật vậy nếu tồn tại tập độc lập gồm $9$ đỉnh thì tồn tại hai đỉnh cùng được đánh dấu một số và như trên ta thấy vô lý) và số cạnh là $8\binom{5}{2}=80$.

$\blacksquare$

Quay lại bổ đề thì đây là một bổ đề có nhiều cách chứng minh (cách thường dùng nhất là phương pháp xác suất ). Em xin nêu ngắn gọn cách chứng minh như sau:
Ta xét một hoán vị ngấu nhiên của tập các đỉnh của $G$ là $\omega$ với xác suất bằng nhau và bằng $\frac{1}{n!}$. Ta xét sự kiện $A_i$: $\omega(i)<\omega(j)$ với tất cả đỉnh $j$ kề với $i$. Bằng cách đếm ta dễ dàng chứng minh được xác suất của sự kiện này là $\frac{1}{d_i+1}$. Ta để ý rằng nếu một hoán vị đều xảy ra hai sự kiện $A_i,A_j$ với $i\neq j$ thì đỉnh $i$ không thể kề với đỉnh $j$.
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ được tính bằng số các sự kiện $A_i$ mà một hoán vị có thể gặp phải. Ta có:

$E[X]=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_i+1 }$

Do đó tồn tại một hoán vị $\omega$ có không ít hơn $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{d_i+1}$ sự kiện. Theo nhận xét trên bổ đề được chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 4, ngày 2, 3/3/2018

4. Cho dãy số Fibonacci xác định bởi $F_1 = F_2 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $ với mọi $n \ge 2$. Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương $\dfrac{F_{5n}}{5F_n}$ là một số nguyên dương tận cùng bằng $1$.

5. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức$$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + ab + bc + ca \ge 2(a^2+b^2+c^2) $$
6. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho với mọi đa giác lồi $P$ với diện tích $1$ và với mọi đường thẳng $l$ đều tồn tại một tam giác $T$ có đỉnh nằm trên chu vi của $P$ và có một cạnh song song với $l$ với diện tích lớn hơn hay bằng $a$.

PS. File pdf tổng hợp của đề thi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[theunknown]

Bài 4 đề 4

Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Khi đó công thức tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức:

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n-b^n)$

Và xét dãy số $L_n=a^n+b^n$ có công thức truy hồi là $L_1=1,L_2=3, L_{n+1}=L_n+L_{n-1}$. Khi đó ta nhận xét một số tính chất của dãy (chứng minh bằng quy nạp) là $L_{4n}$ chia $5$ dư $2$ và $L_{4n+2}$ chia $5$ dư $3$.

Bây giờ ta có biến đổi:

$\frac{F_{5n}}{5F_n}=\frac{1}{5}(L_{2n}^2+L_{2n}(-1)^n-1)$

Đặt $k=\left \lfloor \frac{L_{2n}}{5} \right \rfloor$. Xét các trường hợp chẵn lẻ của $n$ ta đều có: $\frac{F_{5n}}{5F_n}=5k^2+5k+1$. Dễ thấy biểu thức này là số nguyên và chia $10$ dư $1$ nên nó có tận cùng là $1$. $\blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Đặt $k=\left \lfloor \frac{L_{2n}}{5} \right \rfloor$. Xét các trường hợp chẵn lẻ của $n$ ta đều có: $\frac{F_{5n}}{5F_n}=5k^2+5k+1$.

Không cần đưa về dãy Lucas, chỉ cần để ý công thức\[\frac{{{F_{5n}}}}{{5{F_n}}} = 10.\frac{{F_n^2\left( {F_n^2 + {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right)}}{2} + 1.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 5, Ngày 1, 8/3/2018

1. Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất có tính chất sau: Nếu có hữu hạn các hòn đá có khối lượng mỗi hòn không vượt quá $a$ (kg) và có tổng khối lượng là 1.000 kg thì ta có thể phân các hòn đá đó thành không quá 50 đống, mỗi đống có tổng khối lượng không quá $a$ (kg).

2. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử đường thẳng $OI$ cắt $BC, \,CA,\, AB $ lần lượt tại $D, \,E,\, F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD, \,OBE, \,OCF$ nằm trên một đường thẳng.

3. Tìm tất cả các cặp đa thức $P(x), \,Q(x)$ với hệ số thực sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện$$P(1)P(2)...P(n) = Q(n!).$$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 5, ngày 2, 10/3/2018

4. Chứng minh rằng phương trình $x^3 - 3 = 2y^2$ không có nghiệm nguyên dương.

5. Cho đa thức $P(x)$ đơn khởi, bậc $n \ge 2 $ có $n$ nghiệm thực âm. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$P(1).P'(0) \ge 2n^2P(0).$$
6. Một tập hợp các đường tròn trên mặt phẳng được gọi là "đẹp" nếu chúng đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau

1. Hai đường tròn bất kỳ giao nhau tại không quá 1 điểm.
2. Với điểm A bất kỳ trong mặt phẳng, có không quá 2 đường tròn đi qua A.
3. Một đường tròn bất kỳ trong tập hợp tiếp xúc với đúng 5 đường tròn khác trong tập hợp.

Hỏi có tồn tại hay không một tập hợp đẹp các đường tròn gồm

1. 2017 đường tròn?
2. 2018 đường tròn?

PS. File pdf tổng hợp đề 5
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[1110004]

[QUOTE=namdung;213501][INDENT]

Đề 5, ngày 2, 10/3/2018

5. Cho đa thức $P(x)$ đơn khởi, bậc $n \ge 2 $ có $n$ nghiệm thực âm. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$P(1).P'(0) \ge 2n^2P(0).$$

Lời giải

Giả sử các nghiệm của đa thức là $-a_1,-a_2,...,-a_n$ với $a_i$ là các số thực dương. Khi đó:

$$\begin{array}{l}
P\left( 1 \right)P'\left( 0 \right) \ge 2{n^2}P\left( 0 \right)\\
\Leftrightarrow \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)....\left( {1 + {a_n}} \right)\left( {\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}} \right)\left( {{a_1}{a_2}...{a_n}} \right) \ge 2{n^2}\left( {{a_1}{a_2}...{a_n}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)....\left( {1 + {a_n}} \right)\left( {\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge 2{n^2}
\end{array}$$
Ta tiến thành đổi biến $a_i=\dfrac{1}{b_i}$, BĐT trên được viết lại là:

$$\ln \left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) \ge \ln \left( {\frac{{{b_1}}}{{1 + {b_1}}}} \right) + \ln \left( {\frac{{{b_2}}}{{1 + {b_2}}}} \right) + ... + \ln \left( {\frac{{{b_2}}}{{1 + {b_2}}}} \right) + \ln \left( {2{n^2}} \right)$$

Theo BĐT hàm lồi ta có:

$$\ln \left( {\frac{{\frac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}{n}}}{{\frac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}{n} + 1}}} \right) \ge \frac{{\ln \left( {\frac{{{b_1}}}{{1 + {b_1}}}} \right) + \ln \left( {\frac{{{b_2}}}{{1 + {b_2}}}} \right) + ... + \ln \left( {\frac{{{b_2}}}{{1 + {b_2}}}} \right)}}{n}$$

Do vậy ta cần có:

$$\ln \left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right) \ge n\ln \left( {\frac{{\frac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}{n}}}{{\frac{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}}{n} + 1}}} \right) + \ln \left( {2{n^2}} \right)$$

hay nói cách khác:

\[\ln \left( {\frac{x}{{2{n^2}}}} \right) \ge \ln {\left( {\frac{{\frac{x}{n}}}{{1 + \frac{x}{n}}}} \right)^n} \Leftrightarrow \left( {\frac{x}{{2{n^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{\frac{x}{n}}}{{1 + \frac{x}{n}}}} \right)^n} = {\left( {\frac{x}{{n + x}}} \right)^n} \Leftrightarrow {\left( {n + x} \right)^n} \ge 2{n^2}{x^{n - 1}}\]
với $x={{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}>0$. Theo BĐT AM - GM ta lại có:

\[{\left( {n + \underbrace {\frac{x}{{n - 1}} + \frac{x}{{n - 1}} + ... + \frac{x}{{n - 1}}}_{n - 1}} \right)^n} \ge {\left( {n\sqrt[n]{{\frac{{n{x^{n - 1}}}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^{n - 1}}}}}}} \right)^n} = \frac{{{n^{n + 1}}}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^{n - 1}}}}{x^{n - 1}}\]

Bài toán được chứng minh nếu ta có:

\[{n^{n + 1}} \ge 2{n^2}{\left( {n - 1} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {n^{n - 1}} \ge 2{\left( {n - 1} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\ln \frac{n}{{n - 1}} \ge \ln 2\]

Điều trên dễ dàng có được vì \[y = f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\ln \frac{x}{{x - 1}}\] là hàm tăng và $n \geq 2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 6, Ngày 1, 15/3/2018

1. Cho $X$ là một tập hợp có 10 phần tử. $A_1,\, A_2,\,\ldots,\, A_{100}$ là các tập con của $X$. Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i,\, j$ phân biệt sao cho hiệu đối xứng của $A_i$ và $A_j$ có không quá 2 phần tử.


2. Với mỗi đa thức $P(x)$ với hệ số thực, ký hiệu $S(P)$ là tổng bình phương các hệ số của $P(x)$. Hai đa thức được gọi là “liên kết” với nhau nếu $S(P^n) = S(Q^n)$ với mọi n nguyên dương.

1. Cho hai tam thức bậc hai $P(x), \,Q(x)$ có hệ số cao nhất bằng $1$, chứng minh rằng \[S(PQ) \ge P^2(0) + Q^2(0).\]
2. Chứng minh rằng tồn tại đa thức có hệ số nguyên dương $P(x)$ thỏa $P(0) = 1$ và liên kết với đa thức $3x^2 + 7x + 2$.

3. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử $P$ và $Q$ là giao điểm của các tia $BA$ và $CD, \,BC$ và $AD$ tương ứng. $H$ là hình chiếu của $D$ lên $PQ$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi đường tròn nội tiếp các tam giác $ADP$ và $CDQ$ được nhìn từ điểm $H$ dưới các góc bằng nhau.

PS. File pdf ở dưới
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Đề 5, Ngày 1, 8/3/2018

2. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử đường thẳng $OI$ cắt $BC, \,CA,\, AB $ lần lượt tại $D, \,E,\, F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD, \,OBE, \,OCF$ nằm trên một đường thẳng.

Bài toán 2 là một trường hợp đặc biệt của IMOSL 2012 bài G8. Có thể xem tại đây

https://www.imo-official.org/problems/IMO2012SL.pdf
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Đề 6, Ngày 2, 17/3/2018

4. Tìm tất cả các hàm số $f: \,\mathbb Z \to\mathbb Z$ thỏa mãn điều kiện$$ f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) - 1\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb Z .$$
5. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.


6. Cho $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $CO$ cắt đường cao kẻ từ $A$ tại điểm $K$. Gọi $P, M$ là trung điểm của $AK,\, AC$ tương ứng. Nếu $PO$ cắt $BC$ tại $Y$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $AB$ tại $X$, chứng minh rằng tứ giác $BXOY$ nội tiếp.

PS. File tổng hợp đề 6 download ở bên dưới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Và hôm nay chúng tôi gửi các bạn đề luyện tập cuối cùng, đề số 7. Đây là đề đã được sử dụng ở Tiểu trường xuân miền Nam 2018 vừa qua.

1. Trường Phù thủy và Pháp sư Hogwarts có n học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia vào nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả m câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất 2 thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trường, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu 2 câu lạc bộ nào đó có ít nhất 2 thành viên chung thì hai câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2 $.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ và nằm trong tứ giác. Đường tròn $(K,KA)$ lần lượt cắt $ AB,AD$ tại $ M,N$ khác $A$. $(K)$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. $MN$ theo thứ tự cắt $CB, CD$ tại $ P,Q$. $KG$ cắt $ MN $tại $ J$. Chứng minh rằng $MP/NQ=JM/JN$.

3. Với dãy Fibonacci xác định bởi công thức $F_1 = 1, F_2 = 2, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $ xét hàm số
$f(x) = (x-F_1)(x-F_2)...(x-F_{3030})$

Giả sử trên $(F_1,F_{3030})$, hàm số $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_0$. Chứng minh rằng $x_0 > 2^{2018}$ .

4. Ban đầu trên bảng có ghi số nguyên dương $N$. Mỗi bước thực hiện, ta có thể chọn một số $a > 1$ trên bảng, xóa nó đi và ghi ra tất cả các ước số nguyên dương của $a$, trừ chính $a$ (trên bảng có thể xuất hiện các số bằng nhau). Chứng minh rằng quá trình này không thể thực hiện mãi (tức là trên bảng còn toàn số $1$) và khi trên bảng còn toàn số $1$ thì số số $1$ không quá $N^2$.

5. Trên các cạnh của lục giác lồi $ABCDEF$ về phía ngoài dựng các tam giác đều $ABC_1, BCD_1, CDE_1, DEF_1, EFA_1$ và $FAB_1$. Biết rằng tam giác $B_1D_1F_1$ đều. Chứng minh rằng tam giác $A_1C_1E_1$ cũng đều.

6. Với mỗi bộ số $x = (x_1, x_2, …, x_n)$ các tổng đối xứng sơ cấp được định nghĩa như sau$$(t+x_1)(t+x_2)…(t+x_n) = t^n + s_1(x)t^{n-1} + s_2(x)t^{n-2} + … + s_n(x).$$Cho $x = (x_1, …, x_n), y = (y_1, …, y_n)$ là hai bộ số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $r = 2, …, n$ ta có bất đẳng thức$$ \frac{s_r(x+y)}{s_{r-1}(x+y)} \ge \frac{s_r(x)}{s_{r-1}(x)}+ \frac{s_r(y)}{s_{r-1}(y)}.$$


PS. File pdf download bên dưới.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]