Bà i toán đóng mở $2018$ tủ của $2018$ học sinh.

[hung.vx]

Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[muaxl2xo]

Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018

Tủ n sẽ có số lần tác động = số ước của n. chẳng hạn tủ 36 sẽ bị tác động bởi các học sinh 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Luôn có 2 ước tầm thường là 1 và n. Nếu có 1 ước trong khoảng (1; căn(n)) thì cũng có 1 ước tương ứng với nó trong khoảng (căn(n); n).
Vậy nếu n ko là số chính phương thì số ước của n luôn là số chẵn, do đó trạng thái cuối cùng của tủ n sẽ là đóng.
Nếu n là số chính phương thì số ước của n là số lẻ nên trạng thái cuối cùng của tủ là mở.
Các số chính phương từ 1 đến 2018 là k.k với 0 < k < 45 nên có 44 số.
Vậy tóm lại cuối cùng sẽ có 2018 - 44 = 1974 tủ đóng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Có một câu hỏi vui cho bài toán này.

Với số tủ là $n$, gọi $f(n)$ là số tủ mở.

Chứng minh rằng với mọi $m \ge 3$ nguyên dương thì tồn tại đúng ba số nguyên dương $n$ để $n=m \cdot f(n)$.

Bài này mình ngẫu hứng chế ra khi cho các bạn học trường Đông Titan HN 2016 làm một bài tương tự bài tủ đóng - mở ở trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]