Việt Nam TST 2018 - Đề thi và lời giải

[huynhcongbang]

Sáng nay, kỳ thi VN TST 2018 sẽ diễn ra tại trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội. Cùng với bạn Phạm Nam Khánh, HCB IMO 2017, sẽ có thêm 49 thí sinh nữa có số điểm từ 21,5 trở lên sẽ tham gia vào hai ngày thi tuyển chọn đội tuyển IMO 2018 (tại Romania) này.

Đề thi cùng các lời giải và bình luận sẽ được gửi tại đây.

Dưới đây là một số hình ảnh của ngày khai mạc được các thầy dẫn đoàn chia sẻ trên facebook.






[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Ảnh của thầy Lữ đẹp tuyệt :xxx
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Ảnh của thầy Lữ đẹp tuyệt :xxx

Dạ vâng, ý anh nói hình đầu tiên phải không ạ, hehe.

À, update tình hình tí: 1 hình, 1 tổ, 1 số. Cụ thể thì chờ thêm tí nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Ngày thi thứ nhất.

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Gọi $(O),({O}')$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và tâm Euler của tam giác. Xét điểm $P$ bên trong tam giác $DEF$ và $DP,EP,FP$ cắt lại $({O}')$ lần lượt tại ${D}',{E}',{F}'$. Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng với $A$ qua ${D}'.$ Xác định tương tự với ${B}',{C}'.$

a) Nếu $PO=P{O}'$, chứng minh rằng $({A}'{B}'{C}')$ đi qua $O.$
b) Lấy $X$ đối xứng với ${A}'$ qua đường thẳng $OD.$ Xác định tương tự với $Y,Z.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $XH,YH,ZH$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $M,N,K.$ Chứng minh rằng $M,N,K$ thẳng hàng.

Bài 2.

Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times 2018$ gồm $m$ hàng, $2018$ cột mà trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số $0$ hoặc $1.$ Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có $2018$ ký tự nào, ta đều có thể chọn ra một hàng nào đó của bảng rồi điền thêm $0,1$ vào đó để $2018$ ký tự của hàng tạo thành chuỗi $S$ (nếu chuỗi $S$ đã có sẵn trên hàng nào đó rồi thì coi như thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và nếu ta bỏ đi bất kỳ hàng nào thì nó không còn đầy đủ nữa.

a) Cho $k\le 2018,$ chứng minh rằng tồn tại bảng tối giản ${{2}^{k}}\times 2018$ sao cho có đúng $k$ cột có đủ cả $0$ lẫn $1.$
b) Cho bảng tối giản $m\times 2018$ có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Chứng minh rằng $m\le {{2}^{k}}.$

Bài 3. Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và ${{A}_{n}}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $n,$ nguyên tố cùng nhau với $n.$ Xét đa thức $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k\in {{A}_{n}}}{{{x}^{k-1}}}.$$
a) Chứng minh rằng ${{P}_{n}}(x)=({{x}^{{{r}_{n}}}}+1)Q_n(x)$ với ${{r}_{n}}$ là số nguyên dương nào đó, còn $Q_n(x)$ là một đa thức hệ số nguyên (không nhất thiết khác hằng).
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để đa thức ${{P}_{n}}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trihoctoan]

Bài 1:
Bổ đề :Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O) $ có $P$ là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác .Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao của $AP,BP,CP$ và $(O)$.Gọi $D,E,F$ lần lượt là đối xứng với $X,Y.Z$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.Khi đó :$DEF)$ đi qua trực tâm tam giác $ABC$.
Giải bài toán:
a) Gọi $V_3$ là đối xứng của $H$ qua $D'$ .Theo kết quả : quen thuá»™c ta được $V_3$ nằm trên $(O)$ .Ta thấy :$AV_3A'H$ là hình bình hành.Gọi $U$ là trung Ä‘iểm $AH$. Ta thấy :$UD’$ //$A’H$ .Mà DU là đường kính của $(O’)$. Suy ra:$DD’$ vuông góc vá»›i $UD’$.Gọi $(O’’)$ là tâm của $(HBC)$ .Ta có :$OO’’HA,OO’’A’ V_3$ là hình bình hành .Gọi $P’$ là đối xứng của $O$ qua $P$.Ta thấy $P’O=P’H$(Vì giả thiết và $O’$ là trung Ä‘iểm của $OH$).Bây giờ lại để ý $DP$//$P’O’’$ nên suy ra :$O’’P’$ vuông góc vá»›i $HA’$.Mà do $OV_3$ =$O’’A’$ nên $A’$ thuá»™c $(HBC)$.$O’’H=O’’Aâ� �™$ nên $PA’=PH$ .TÆ°Æ¡ng tá»± vậy :ta dẫn tá»›i $PH=PO=PA’=PB’=PC’$ .Suy ra : $(A’B’C’)$ Ä‘i qua $O$.
b) Gọi $X_1$ là điểm đối xứng với A’ qua D và tương tự cho :$Y_1,Z_1$.Gọi $D_1$ là đối xứng của X qua D ,tương tự cho :$E_1,F_1$.Theo tính chất đẳng giác ta thấy :$AX_1,BY_1,CZ_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AD_1,BE_1,CF_1$ đồng quy. Mà theo Bổ đề đảo lại ta có ta được :$AX_1,BY_1,CZ_1$ đồng quy ( vì câu a) .Suy ra : $AD_1,BE_1,CF_1$ đồng quy.Mà theo tính đối xứng của các đường tròn $(HBC),(HCA),(HAB)$ với $(O)$ ta thấy :$D_1,E_1,F_1$ thuộc $(O)$.Nên áp dụng Bổ đề cho tam giác $ABC$ ta được $X,Y,Z,H$ cùng thuộc 1 đường tròn $(T)$.Vậy ta thấy :$M,N,K$ có cùng phương tích tới $(O)$ và $(T)$.Suy ra :$M,N,K$ thẳng hàng trên đường thẳng vuông góc với $OT$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung.vx]

Ngày thi thứ nhất.

Bài 2.

Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times 2018$ gồm $m$ hàng, $2018$ cột mà trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số $0$ hoặc $1.$ Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có $2018$ ký tự nào, ta đều có thể chọn ra một hàng nào đó của bảng rồi điền thêm $0,1$ vào đó để $2018$ ký tự của hàng tạo thành chuỗi $S$ (nếu chuỗi $S$ đã có sẵn trên hàng nào đó rồi thì coi như thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và nếu ta bỏ đi bất kỳ hàng nào thì nó không còn đầy đủ nữa.

a) Cho $k\le 2018,$ chứng minh rằng tồn tại bảng tối giản ${{2}^{k}}\times 2018$ sao cho có đúng $k$ cột có đủ cả $0$ lẫn $1.$
b) Cho bảng tối giản $m\times 2018$ có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Chứng minh rằng $m\le {{2}^{k}}.$

Câu a: Xét bảng $2^k\times k$ (gồm $2^k$ hàng và $k$ cột) mà mỗi hàng chứa một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ khác nhau. Rỏ ràng bảng này chứa tất cả các xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Bổ sung vào bảng này $2018-k$ cột mà mỗi ô không đánh số nào, bảng này thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu b: Giả sử có bảng tối giản $m\times 2018$ mà $m>2^k$ và có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Xóa đi tất cả các cột trống, ta được bảng $m\times k$ và bảng này tối giản đối với các xâu có độ dài bằng $k$. Với mỗi hàng thuộc bảng này, ta chèn thêm các hàng mà mỗi hàng là một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ được sinh ra từ hàng này, rồi xóa hàng này đi. Cứ làm như thế cho các hàng còn lại. Khi đó ta được bảng mới mà mỗi hàng là một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Ta xóa đi các hàng để bảng này tối giản ( các hàng giống nhau), do bảng ban đầu tối giản nên đối với mỗi hàng ban đầu bị xóa thì có ít nhất một hàng được sinh ra từ hàng đầu còn lại trong bảng mới. Tức là sau khi tối giản lại thì bảng mới có ít nhất $m$ hàng và bảng này chứa tất cả các xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Do có đúng $2^k$ xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ và $m>2^k$ nên trong bảng này có ít nhất hai hàng chứa hai xâu giống nhau. Và điều này trái với giả thiết tối giản. Vậy $m\leq 2^k$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Câu a: Xét bảng $2^k\times k$ (gồm $2^k$ hàng và $k$ cột) mà mỗi hàng chứa một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ khác nhau. Rỏ ràng bảng này chứa tất cả các xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Bổ sung vào bảng này $2018-k$ cột mà mỗi ô không đánh số nào, bảng này thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu b: Giả sử có bảng tối giản $m\times 2018$ mà $m>2^k$ và có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Xóa đi tất cả các cột trống, ta được bảng $m\times k$ và bảng này tối giản đối với các xâu có độ dài bằng $k$. Với mỗi hàng thuộc bảng này, ta chèn thêm các hàng mà mỗi hàng là một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ được sinh ra từ hàng này, rồi xóa hàng này đi. Cứ làm như thế cho các hàng còn lại. Khi đó ta được bảng mới mà mỗi hàng là một xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Ta xóa đi các hàng để bảng này tối giản ( các hàng giống nhau), do bảng ban đầu tối giản nên đối với mỗi hàng ban đầu bị xóa thì có ít nhất một hàng được sinh ra từ hàng đầu còn lại trong bảng mới. Tức là sau khi tối giản lại thì bảng mới có ít nhất $m$ hàng và bảng này chứa tất cả các xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. Do có đúng $2^k$ xâu nhị phân có độ dài bằng $k$ và $m>2^k$ nên trong bảng này có ít nhất hai hàng chứa hai xâu giống nhau. Và điều này trái với giả thiết tối giản. Vậy $m\leq 2^k$.

Ý b) chắc cần phải chứng minh có thể chèn thêm 0, 1 nhưng vẫn đảm bảo bảng thu đc gồm $2^k$ xâu nhị phân phân biệt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung.vx]

Ý b) chắc cần phải chứng minh có thể chèn thêm 0, 1 nhưng vẫn đảm bảo bảng thu đc gồm $2^k$ xâu nhị phân phân biệt.

Mình nghĩ là không cần chứng minh vì bảng $m\times k$ đã tối giản rồi. Tức là bảng này sinh ra tất cả các xâu nhị phân có độ dài bằng $k$. (Không biết như thế có bị trừ điểm không?).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và ${{A}_{n}}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $n,$ nguyên tố cùng nhau với $n.$ Xét đa thức $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k\in {{A}_{n}}}{{{x}^{k-1}}}.$$
a) Chứng minh rằng ${{P}_{n}}(x)=({{x}^{{{r}_{n}}}}+1)Q_n(x)$ với ${{r}_{n}}$ là số nguyên dương nào đó, còn $Q_n(x)$ là một đa thức hệ số nguyên (không nhất thiết khác hằng).
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để đa thức ${{P}_{n}}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$

Bài này có thể xử đẹp bằng tổng Ramanujan, ý tưởng cơ bản như sau.

Đặt $f_n(x)=xP_n(x)$, khi đó nếu ta đặt ${f_n}\left( {{\zeta_n^t}} \right) = {C_n}\left( t \right)$ (trong đó $t\in\mathbb Z,\,\zeta_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$), thế thì\[{C_{mn}}\left( t \right) = {C_m}\left( t \right){C_n}\left( t \right)\quad\forall\,m,\,n\in\mathbb N^*:\;\gcd(m,\,n)=1.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Ngày thi thứ hai (31/03/2018).

Bài 4. Cho $a$ là số thực thuộc đoạn $\left[ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right].$Các dãy số $({{u}_{n}})$ và $({{v}_{n}})$ xác định như sau:
$${{u}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{[{{2}^{n+1}}a]}} \text{ và } {{v}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{n+[{{2}^{n+1}}a]}}.$$

a) Chứng minh rằng
$${{({{u}_{0}}+{{u}_{1}}+\cdots +{{u}_{2018}})}^{2}}+{{({{v}_{0}}+{{v}_{1}}+\cdots +{{v}_{2018}})}^{2}}\le 72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}.$$
b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.

Bài 5.
Một bảng ô vuông $m\times n$ $ABCD$ có các đỉnh là các giao lộ (có tất cả $(m+1)\times (n+1)$ giao lộ). Người ta muốn thiết lập một tuyến đường bắt đầu từ $A,$ đi theo các cạnh song song với các cạnh của hình chữ nhật và đi qua tất cả các giao lộ đúng một lần, sau đó quay về $A.$
a) Chứng minh rằng có thể xây dựng được đường đi khi và chỉ khi $m$ lẻ hoặc $n$ lẻ.
b) Với $m,n$ thỏa mãn điều kiện câu a, hỏi có ít nhất bao nhiêu giao lộ mà tại đó có ngã rẽ?

Bài 6.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(J)$ trên $BC,CA,AB.$
a) Gọi $L$ là trung điểm $BC$. Đường tròn đường kính $LJ$ cắt $DE,DF$ tại $K,H.$ Chứng minh rằng $(BDK)$ và $(CDH)$ cắt nhau trên $(J).$
b) Giả sử $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $GJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N.$ Gọi $P,Q$ là các điểm trên $JB,JC$ sao cho $\angle PAB=\angle QAC=90{}^\circ .$ Gọi $T$ là giao điểm của $PM,QN$ và $S$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của $(O).$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $SI$ cắt $AT$ tại một điểm thuộc $(O).$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangleo963]

Bài 3:
a. Ta chứng minh nếu $n $ lẻ thì $P_n(x) $ chia hết cho $x+1 $ và nếu $n $ chẵn thì $P_n(x) $ chia hết cho $x^{n/2}+1 $.

Chứng minh:

Với $n $ lẻ thì với mọi $k $ thuộc $A_n $ thì $n - k $ cũng thuộc $A_n $ và khác tính chẵn lẻ. Do đó số trong $A_n $, số phần tử lẻ bằng số phần tử chẵn. Do đó $P_n(-1) = 0 $, hay $P_n(x) = (x + 1)Q_n(x) $.

Với $n $ chẵn thì với mọi $k $ < $n/2 $ thuộc $A_n $, ta có $k+n/2 $ cũng thuộc $A_n $.

Do đó ta có: $P_n(x) = \sum\limits_{k\in A_{n}, k < n/2}x^{k-1} + x^{n/2+k-1} = (1+x^{n/2})\sum\limits_{k\in A_{n}, k<n/2}x^{k-1} = (1 + x^{n/2})Q_n(x) $ ĐPCM.

Khi em giải bài toán này vào ngày hôm qua thì cũng có ý tưởng tương tự cho trường hợp $n$ lẻ. Tuy nhiên khi tìm một đa thức như vậy với $n$ chẵn thì em không làm được, nhưng thấy một nhận xét như sau:

Giả thuyết: "Với $n$ chẵn, $n\not= 2^k$ thì với $p$ là ước nguyên tố lẻ của $n$, ta có $P_n(x)$ chia hết cho $x^{p+1}+1$."

Em không rõ liệu điều này có đúng không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DogLover]

Bài 3:
a. Ta chứng minh nếu $n $ lẻ thì $P_n(x) $ chia hết cho $x+1 $ và nếu $n $ chẵn thì $P_n(x) $ chia hết cho $x^{n/2}+1 $.

Chứng minh:

Với $n $ chẵn thì với mọi $k $ < $n/2 $ thuộc $A_n $, ta có $k+n/2 $ cũng thuộc $A_n $.

Do đó ta có: $P_n(x) = \sum\limits_{k\in A_{n}, k < n/2}x^{k-1} + x^{n/2+k-1} = (1+x^{n/2})\sum\limits_{k\in A_{n}, k<n/2}x^{k-1} = (1 + x^{n/2})Q_n(x) $ ĐPCM.

Cái này chỉ đúng khi $n/2 $ cũng chẵn thôi. Một cách tổng quát thì nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $n$ chia hết cho $p^2$ thì với mọi $k$ thuộc $A_{n/p} \cap A_n$, $k+in/p$ cũng thuộc $A_n$ với mọi $i$ trong $\{1,p-1\}$. Nên chỉ cần chứng minh trường hợp không có số $p$ nào như vậy là bài toán được giải quyết. Tuy nhiên trường hợp này không dễ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DogLover]

Bai 5b:
Giả sử có $m+1 $ hàng và $n+1 $ cột trong lưới ô vuông, $n $ lẻ.
Xét hướng đi theo chu trình Hamilton. Đường đi là một chuỗi các đoạn ngang dọc luân phiên nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử là dọc -> ngang -> dọc -> ... -> ngang. Nếu bắt đầu là dọc thì kết thúc là ngang và ngược lại.

Observation: số đoạn dọc $ \geq n+1 $ , hoặc số đoạn ngang $ \geq m+1 $ bởi vì nếu số đoạn dọc $ \leq n $ thì có một cột mà cả $m+1 $ điểm phải được phủ bởi các đoạn ngang, khi đó số đoạn ngang cần thiết ít nhất là $m+1 $.
Bây giờ:

- Nếu cả $m $ và $n $ đều lẻ hay $m $ chẵn và $n < m $, khi đó từ observation trên, ta thấy số đoạn dọc ít nhất là $min(m,n) + 1 $, như vậy số lần rẽ hướng ít nhất là $2min(m,n) + 1 $.

- Nếu $m $ chẵn và $n > m $, ta phải có số đoạn dọc $ \geq n + 1 $. Nếu số đoạn dọc $ \leq n $ thì tồn tại một cột mà các điểm chỉ được phủ bởi các đoạn ngang. Nhưng vì có số lẻ điểm trên cột này nên ta không thể quay lại điểm xuất phát được. Như vậy thì ta cũng có số lần rẽ hướng ít nhất là $2n + 1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trihoctoan]

Bài 6:
a)Câu a mình làm tương tự như ý tưởng anh Nguyễn Văn Linh nên sẽ không nêu lại nữa .Có thể xem tại đây:
[Only registered and activated users can see links. ]
b)
Bổ đề 1:Cho tam giác $ABC$ có đường tròn bàng tiếp (J) tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ .Gọi $EF$ cắt $BC$ tại G .Khi đó :$GJ$ vuông góc với $EF$.
Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Đường tròn A-mixtiinear tiếp xúc với $(O)$ tại T .Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tếp xúc với $BC$ ở $D$.Khi đó :$AT,AD$ là hai đường đẳng giác góc $A$ và đường nối $T$ với tâm nội tiếp tam giác $ABC$ đi qua trung điểm cung $BC$chứa $A$ của $(O)$.
Trở lại câu b:
Gọi đường tròn $(AIB),(AIC)$ lần lượt cắt $AP,AQ$ tại $V_1,V_2$ .Ta lại để ý rằng : $(BC,DG)=-1$ nên suy ra các bộ đường thẳng sau đồng quy :$AD,CF,BE$ và $AD,XW,BN$ .Đường thẳng qua $B,C$ lần lượt song song với $CM,BN$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $ X_1,X_2$ .Bây giờ sử dụng phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì dẫn tới: $V_1<->Q$ ,$V_2<->P$ ,$X_1<->M$ ,$X_2<->N$ .
Vẽ đường tròn tâm $P,Q$ và bán kính $PA,QA$ hai đường tròn này lần lượt tiếp xúc với $BC$ tại $X,Y$ .Ta có : $AD$ chia đôi chu vi của tam giác $ABC$ nên $DB+AB=DC+AC$ ,suy ra :$DX^2=DY^2$ .Nên $AD$ là trục đẳng phương của $(P),(Q)$ .Suy ra:$AD$ vuông góc với $PQ$.
Từ đó ta suy ra: $PQ // V_1V_2 // X_1X_2 //MN$ nên nếu gọi $U,V$ lần lượt là trung điểm của $V_1X_2$ và $V_2X_1$ thì $UV$ vuông góc với $AD$ (theo bồ đề 1 trên ).Mà ta thấy $U,V$ lần lượt là tâm của 2 đường tròn $(AV_1X_2),(AX_1V_2)$ nên $AD$ là trục đẳng phương của hai đường tròn đó .Mà qua phép nghịch đảo trên thì 2 đường tròn $(AV_1X_2),(AX_1V_2)$ lần lượt biến thành $QN,PM$ nên $AD,AT$ là đẳng giác góc $A$ của tam giác $ABC$.Nên từ bổ đề 2 ta suy ra :$AT$ và $SI$ cắt nhau tại tiếp điểm A-Mixtilinear và $O$ .Nên $AT$ và $SI$ cắt nhau trên $(O)$. ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Dạ vâng, ý anh nói hình đầu tiên phải không ạ, hehe.

À, update tình hình tí: 1 hình, 1 tổ, 1 số. Cụ thể thì chờ thêm tí nữa.

Thực sự thì anh thấy ảnh thứ 2 đẹp nhất Thấy Bác cười mà em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]