Chọn số tốt nhất

[sieunhanbachtang]

Bạn và $n$ người chơi một trò chơi như sau:mỗi người chọn 1 số thực nằm giữa 0 và 1.Trọng tài chọn một số giữa 0 và 1.Ai có số gần nhất với số mà trọng tài chọn sẽ được thưởng 1 triệu đô
Vậy bạn nên chọn số nào khi:
a)$n=4$
b)$n=5$
P/s:Mọi người trừ bạn sẽ chọn 1 số bất kì,bạn cần chọn số để có khả năng thắng cao nhất
Nguồn:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1750233_an_amazing_result

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Bạn và $n$ người chơi một trò chơi như sau:mỗi người chọn 1 số thực nằm giữa 0 và 1.Trọng tài chọn một số giữa 0 và 1.Ai có số gần nhất với số mà trọng tài chọn sẽ được thưởng 1 triệu đô
Vậy bạn nên chọn số nào khi:
a)$n=4$
b)$n=5$
P/s:Mọi người trừ bạn sẽ chọn 1 số bất kì,bạn cần chọn số để có khả năng thắng cao nhất
Nguồn:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1750233_an_amazing_result

Bài này khá đơn giản. Giả số mình chọn là $t$. Với mỗi số $x$ mà trọng tài chọn sẽ tính được xác xuất mình chiến thằng là 1 đa thức của $t$ và $x$. Lấy tích phân theo $x$ sẽ thu được xác xuất thắng nếu mình chọn $t$ là bao nhiêu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieunhanbachtang]

Anh có thể giải thích rõ hơn được không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Anh có thể giải thích rõ hơn được không ạ?

Ví dụ mình đã chọn $t$ và trọng tài chọn $x$. Thì xác suất $1$ thằng chọn mà mình vẫn chiến thằng là $1 - min(1, x + abs(t - x)) + max(0, x - abs(t - x))$. Và xác suất cho $n$ thằng là $(1 - min(1, x + abs(t - x)) + max(0, x - abs(t - x)))^n$. Vì $x$ chọn ngẫu nhiên nên ta phải lấy tích phân, suy ra xác suất thắng nếu chọn $t$ là $\int_0^1 \! (1 - min(1, x + abs(t - x)) + max(0, x - abs(t - x)))^ndx$. Phá hàm $abs, min, max$ bằng cách chia khoảng $[0, 1]$ thành các khoảng con.
Kết quả: $max\{\frac{2 - t^{n + 1} - (1 - t)^{n + 1}) + (n + 1)t(1 - t)^n + (n + 1)(1 - t)t^n}{2(n + 1)} | 0\le t \le 1\}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Chứng minh rằng trên đoạn $[0, 0.5]$ chỉ có duy nhất 1 điểm tối ưu. Gọi $f_n$ là số tối ưu mình chọn trên đoạn $[0, 0.5]$. Chứng minh $lim_{n\rightarrow \infty}{f_n} = 0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]