Bà i tập ANT

[No10]

Bài 1

CMR:

Với số nguyên tố $p $ bất kỳ cho trước tồn tại vô số số nguyên tố $q $ sao cho $q^{1/3}\in Q_p $.

Bài 2

CMR:

a/ Mọi định giá trên trường hữu hạn là tầm thường

b/ Nếu mọi định giá trên một trường $K $ là tầm thường liệu $K $ có buộc phải hữu hạn ???

c/ Cho $|.| $ là 1 giá trị tuyệt đối phi Archimedan trên trường $k $ CMR vành định giá xác định bởi $|.| $ là 1 tập con mở trong $k $.

Bài 3

Cho số nguyên tố $p, Z_p $ là vành các số nguyên p_adic
CMR: $Z_p $ là tập compac trong $Q_p $ với topo p_adic

Bài 4

cho $k $ là 1 trường đầy đủ với giá trị trị tuyệt đối phi Archimedan $|.|, k^+ $ là bao đóng đại số của $k $, mở rộng $|.| $ lên $k^+ $. Giả sử $f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^{n-i}\in k[x] $ với $a_0 \not= 0 $; $c $ là nghiệm của $f(x) $ trong $k^+ $ CMR $|c|\le max\{|a^{-1}_0|; |a_1a^{-1}_0|; |a_2|;... ;|a_na_0^{n-2}| \} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Định giá có phải là absolate value không bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[007]

1)Có bao nhiêu ideal nguyên $\mathfrak{a} $ với chuẩn $n $? Ở đây $n $ là số nguyên dương cho trước.

J. Neukirch, trang 38.

2)Chứng tỏ rằng trong mỗi lớp ideal của một trường số đại số $K $ (bậc $n $), tồn tại một ideal nguyên $a $ sao cho

$N(a)\leq \frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^s\sqrt{|d _K|}. $

Ở đây $2s $ là số các nhúng phức $K\mapsto\mathbb{C} $.

J. Neukirch, trang 38.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Mục đích bài viết dưới đây là trình bày một cách hiểu thống nhất một số một số khái niệm nghe có vẻ giống nhau như: chuẩn (norm), nửa chuẩn (semi-norm, giả định giá (pseudo-valuation), định giá (valuation), giá trị tuyệt đối, định giá tuyệt đối,... nếu nhìn trên một trường ta có cảm giác chúng như nhau. Minh có đọc một số tài liệu các tác giả dùng tương đối lẫn lộn những khái niệm này: ví dụ chẳng hạn trên ${\mathbb Q}_p $ một số gọi là chuẩn, một số tác giả gọi là định giá tuyệt đối. Một câu hỏi nữa là khái niệm chuẩn trong giải tích hàm ta vẫn biết với một số thuật ngữ chuẩn trong đại số (có thể không có cấu trúc của không gian véctơ). Theo mình nghĩ thì cái khái niệm này được sắp xếp như sau:
1) Trên một nhóm G, với phép cộng chẳng hạn (ta chỉ xét với G là Abel), khái niệm chuẩn được xác định như sau: một hàm $\phi $ không âm gọi là (nửa) chuẩn trên G nếu như
(i)$ \phi(0)=0 $
(ii) $\phi(x+y)\leq \phi(x)+\phi(y) $
Một nửa chuẩn $\phi $ thỏa mãn $ker\phi=\{0\} $ thì được gọi là chuẩn.
Nếu bất đẳng thức (ii) được thay bằng
(ii)* $\phi(x+y)\leq\max\{\phi(x);\,\phi(y)\} $ thì ta gọi $\phi $ là hàm phi Archimedean, hoặc chuẩn phi Archimedean.

Một nhóm $G $ với (nửa) chuẩn $\phi $ sẽ được gọi là nhóm (nửa) định chuẩn ((semi)-normed group).

2) Khi $G $ có cấu trúc của 1 vành, $G=A $ ta thấy ngay một yêu cầu tự nhiên với điều kiện nào để topo cảm sinh từ $\phi $ là một tô pô tương thích với cấu trúc vành, ie... phép nhân là liên tục. Một điều kiện tự nhiên đó là $\phi(x\cdot y)\leq C\phi(x).\phi(y) $ ở đó $K $ là một hằng số, $\phi $ là (nửa)chuẩn trên nhóm cộng $A^+ $. Nếu có thể lấy $C=1 $ ie...
(iii) $\phi(x\cdot y)\leq \phi(x).\phi(y) $ và
(iV) $\phi(1_A)\leq 1 $
thì $\phi $ được gọi là một (nửa) chuẩn ((semi)-norm) trên $A $.

Một nhận xét hiển nhiên rằng nếu $A $ là một trường thì semi-norm trùng với norm (vì $ker\phi $ là một ideal).

Một chú ý rằng không nên nhầm lẫn ở đây rằng nếu $\phi $ là chuẩn thì (iii) sẽ xảy ra dấu bằng với mọi x,y. Đây chính là điểm khác biệt với khái niệm định giá trên vành mà ta sẽ xác định ở dưới đây (Tiếp tục tự nhiên đưa ra những khái niệm như power-multiplicative (semi)-norms tôi không đề cập ở đây để tiếp cận đến trường hợp có dấu "bằng" ở trong (iiI)).


3) Giờ đây với một vành $A $, khác $\{0\} $, ta hiểu định giá (valuation hoặc absolutely valuation) $\phi $ một hàm không âm trên A mà thỏa mãn $\phi $ là một chuẩn với nhóm cộng, và
(vi) dấu bằng xảy ra ở (iii) với mọi $x,y $ thuộc A.

Chú ý rằng bất đẳng thức (iv) lúc này trở thành một hệ quả của (vi) và một vành mà định giá (valued ring) thì chắc chắn là một miền nguyên.

4) Cuối cùng ta xem xét đến khái niệm chuẩn trên các module và các vector spaces. Ta giả sử $(A,\phi) $ là vành định chuẩn (normed ring). [TEX]\phi[TEX] gọi là A-module chuẩn (hoặc A-module norm) trên M nếu
(vii) $(M,\phi) $ là nhóm định chuẩn (lấy phép cộng)
(viii) $\phi(ax)\leq \phi(a)\cdot\phi(x) $ mọi $a\in A,x\in M $
Dĩ nhiên M gọi là module định chuẩn. Nếu M không tầm thường và dấu bằng xảy ở (viii) với mọi $a\in A,x\in M $ thì tự nhiên $\phi $ là một định giá trên A.
Nếu $A $ là một trường và $\phi $ là một định giá trên nó, lúc này M là A-kgtvt thì $\phi $ với các tính chất (vii) và (viii) sẽ được gọi là chuẩn.


PS: Đây chỉ là một cách hiểu của riêng mình để rạch ròi các khái niệm nói trên, các khái niệm tương ứng trong trường hợp non-Archimedean là tự nhiên tương tự. Mục đích cuối cùng của mình vẫn là tiếp cận đến các không gian hàm thông thường trên một số trường địa phương chẳng hạn nên có thể bỏ qua những thứ trên. Có lẽ các bạn học Đại số sẽ có một cách hiểu khác hệ thống những điều này chăng ? Mong các bạn góp ý :biggrin:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Yutaka]

Vài bài khác này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]