Một số thắc mắc trong sách lý thuyết số đại số của Jurgen Neukirch.

[Ngonkhtn]

Có một chỗ này trong sách lý thuyết số đại số của Jurgen Neukirch mà tác giả nói là "automatically" nhưng mình không tự giải tích được tại sao:

Cho A là một miền nguyên với trường các thương K, L|K là một mở rộng tách được hữu hạn (mình không chắc có cần thiết trong trường hợp này). A đóng nguyên trong K và B là bao đóng nguyên của A trong L. Một hệ các phần tử $\omega_1,...,\omega_n \in B$ sao cho mỗi $b\in B$ có thể viết được duy nhất dưới dạng:
$$b=a_1 \omega_1+...+a_n\omega_n$$
với $a_i \in A$ được gọi là một cơ sở nguyên của B trên A. Một cơ sở như vậy tự động là một cơ sở của L|K(mình hiểu là một cơ sở của L-không gian vector K).

Chỗ bôi đen trên là chỗ mình không hiểu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Mình không thạo gì mấy món lý thuyết số vành vèo này lắm. Nhưng mà mình nghĩ bạn có thể chứng minh $L$ là trường các thương của vành $B,$ từ đó có thể chứng minh được điều bạn thắc mắc ở phần tô đen.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hopf]

Có một chỗ này trong sách lý thuyết số đại số của Jurgen Neukirch mà tác giả nói là "automatically" nhưng mình không tự giải tích được tại sao:

Cho A là một miền nguyên với trường các thương K, L|K là một mở rộng tách được hữu hạn (mình không chắc có cần thiết trong trường hợp này). A đóng nguyên trong K và B là bao đóng nguyên của A trong L. Một hệ các phần tử $\omega_1,...,\omega_n \in B$ sao cho mỗi $b\in B$ có thể viết được duy nhất dưới dạng:
$$b=a_1 \omega_1+...+a_n\omega_n$$
với $a_i \in A$ được gọi là một cơ sở nguyên của B trên A. Một cơ sở như vậy tự động là một cơ sở của L|K(mình hiểu là một cơ sở của L-không gian vector K).

Chỗ bôi đen trên là chỗ mình không hiểu.

Bạn dùng tính chất: với mọi phần tử $b$ của L, tồn tại $a \in A$ sao cho $ab \in B$.

Giả thiết $L/K$ là mở rộng tách được (cộng thêm điều kiện $A$ là vành Noether) để đảm bảo rằng $B$ là một $A$-module hữu hạn sinh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]