Phương trình x^4+y^4=z^2

[truongthikimch]

Các bạn giải giúp mình nhé!
Chứng minh rằng phương trình ${X}^{4}+{Y}^{4}={Z}^{2} $ chỉ có nghiệm tầm thường trong C[t].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pte.alpha]

Bài này bạn sử dụng định lý Mason-Stothers sau đây:

Giả sử f, g, h thuộc C[t] là các đa thức không hằng nguyên tố cùng nhau thỏa mãn điều kiện f + g = h. Khi đó
$ max(deg f, deg g, deg h) \le n_0(fgh) - 1 $
trong đó $n_0(f) $ ký hiệu số nghiệm (không tính số bội) của đa thức f.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongthikimch]

Bài này bạn sử dụng định lý Mason-Stothers sau đây:

Giả sử f, g, h thuộc C[t] là các đa thức không hằng nguyên tố cùng nhau thỏa mãn điều kiện f + g = h. Khi đó
$ max(deg f, deg g, deg h) \le n_0(fgh) - 1 $
trong đó $n_0(f) $ ký hiệu số nghiệm (không tính số bội) của đa thức f.

Theo mình thì định lý phát biểu thế này :Giả sử f, g, h thuộc C[t] là các đa thức nguyên tố cùng nhau,trong đó có ít nhất một đa thức không là hằng thỏa mãn điều kiện f + g = h. Khi đó
$ max(deg f, deg g, deg h) \le n_0(fgh) - 1 $
trong đó $n_0(f) $ ký hiệu số nghiệm (không tính số bội) của đa thức f.
Mình cũng đang không hiểu hai điều này có trùng nhau không?Tài liệu thầy Nam Dũng dịch khác với bài tiếng anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuchuoi]

[Only registered and activated users can see links. ]
đây là bài giảng của giáo sư Cherry cho sinh viên ở trường hè viện toán, trong này nói khá rõ về định lí Mason-Stothers và cả cách chứng minh nó nữa.mọi người tham khảo nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[je.triste]

Cũng như là chứng minh $x^4 + y^4 =z^2 (1) $ không có nghiệm nguyên dương nguyên tố cùng nhau ạ?

Bạn có thể tham khảo lời giải sau
Giả sử (x_0; y_0;z_0) là nghiệm nguyên dương của phương trình(1) mà $x_{0}^4 +y_{0}^4 $ min. Ta có $x_{0}^4 + y_{0}^4=z_{0}^4 $trong đó $UCLN (x_0 , y_0, z_0)=1. $
Bộ số $(x_{0}^2; y_{0}^2 ; z_0) $ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình pythagore nên tồn tại các số nguyên dương m,n nguyên tố cùng nhau, chẵn lẻ khác nhau, m >n sao cho
$\begin{cases} x_{0}^2 =2mn (chan) \\ y_{0}^2 =m^2-n^2 ( le) \\ z_0 =m^2+n^2 ( le) \end{cases} $
Ta có $y_{0}^2 =m^2-n^2 $ nên $y_{0}^2 + n^2 =m^2 $
Vậy bộ số $(y_0;n;m) $ thỏa mãn phương trình pythagore
Do m,n nguyên tố cùng nhau nên $y_0;n;m $ nguyên tố cùng nhau. Ở phương trình pythagore trong hai số $y_0 $ và n có một số chẵn , một số lẻ. Do $y_0 $ lẻ nên n chẵn
Bộ số $(y_0; n; m) $ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình pythagore nên tồn tại nguyên dương a;b nguyên tố cùng nhau chẵn lẻ khác nhau a>b sao cho
$\begin{cases} y_0 = a^2-b^2 ( le) \\ n=2ab( chan) \\m=a^2+b^2 ( le) \end{cases} $
Ta có $x_{0}^2 =2mn=2(a^2+b^2).2ab=4ab(a^2+b^2) $
Do đó $ab(a^2+b^2) $ là số chính phương . Dễ dàng chứng minh được ab và $a^2 + b^2 $ nguyên tố cùng nhau nên ab và $a^2+b^2 $ đều là số chính phương. Vậy tồn tại các số nguyên dương $x_1; y_1;z_1 $ sao cho $a=x_{1}^2; b=y_{1}^2; a^2+b^2=z_{1}^2 $
$\Rightarrow x_{1}^4 + y_{1}^4 =(x_{1}^2)^2 + (y_{1}^2)^2 =a^2+b^2=z_{1}^2 $
Do a;b nguyên tố cùng nhau nên $x_1; y_1 $ nguyên tố cùng nhau, do đó $x_1; y_1; z_1 $nguyên tố cùng nhau
ta có $(x_0; y_0; z_0) $ và $(x_1;y_1;z_1) $ đều là nghiệm của pt (1)
Lại có $x_{1}^4 +y_{1}^4 =a^2+b^2 =m < m^2+n^2 =z_0 < z_{0}^2 =x_{0}^4 + y_{0}^4 $
Ta đã giả sử $(x_0; y^0;z_0) $ là nghiệm của (1) mà $x_{0}^{4}+y_{0}^{4} $ nhỏ nhất, ta lại có $(x_1;y_1;z_1) $ cũng là nghiệm của (1) mà $x_{1}^{4} + y_{1}^{4} < x_{0}^{4} +y_{0}^{4} $
Điều trên không thể xảy ra , chứng tỏ pt (1) ko có nghiệm nguyên dương

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Kia là xét trên vành đa thức hệ số phức em ạ.Để giải quyết định lý Lớn Fermat trên C[X] thì có định lý Mason [Only registered and activated users can see links. ]
Nó khá sơ cấp(tức là chỉ cần kiến thức cấp 3 cũng đọc và cm được).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]