Chứng minh $\sum_{n \leq N} \frac{1}{n} = logN + O(1)+s$

[Gwenstacy]

Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi số thực $N > 0 $ thì
$$\sum_{n \leq N} \dfrac{1}{n} = logN + O(1)+s$$
Trong đó $$s = \int_{1}^{\infty} (\dfrac{1}{\left \lfloor x \right \rfloor} - \dfrac{1}{x}) dx$$
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu số thực $s > 1$ thì
$$\zeta(s) = \dfrac{1}{s-1}+O(1)$$

Các cái này là các định lý Mertens có thể kiếm trong các tài liệu lý thuyết số giải tích hoặc blog của Terence Tao .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kelacloi]

Sao lại $O(1) ? $, $O(\frac{1}{n})$ chứ ?

Còn câu dưới là O gì ????

Câu 1
Thá»±c ra :
$ s= \gamma = \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{1}{n}- log(1+\frac{1}{n}) ) $ thôi
còn $logN = \sum_{n=1}^{N-1} log( 1+\frac{1}{n})$

Tính xấp xỉ nhẹ nhàng thôi @.@
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]