Bất Đẳng Thức cho 4 số không âm

[tson1997]

Nguyên văn bởi cuibap

Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA

Mình nghĩ bài này lấy ý tưởng từ : $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca) $

Ta có 2 trường hợp sau:
TH1: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \geq 0 $ khi đó,không mất tính tổng quát,ta giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0 ; (c-1)(d-1) \geq 0 $
Hay $ab+1 \geq a+b; cd+1 \geq c+d $

Nhân theo vế ta được : $abcd+1 \geq ac+ad+bc+bd-ab-cd $
Kết hợp với $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2ab+2cd $ ta có đpcm

TH2: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \leq 0$
Không mất tính tổng quát,ta có thể giả sử a-1;b-1;c-1 là cùng dấu và khác dấu d-1 (từ đây suy ra ab-1 và c-1 cùng dấu )
Khi đó : $ d(a-1)(b-1) \geq 0 $ hay $ abd +d \geq ad+bd$
$d(ab-1)(c-1) \geq 0 $ hay $abcd+d \geq abd+cd $
Cộng theo vế 2 bđt ta có:
$abcd + 2d \geq ad+bd+cd $

Ta cần cmr : $a^2+b^2+c^2+d^2+1 \geq ab+bc+ca+2d$ (dễ thấy)

Như vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]