Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Chọn Đội Tuyển Trường

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-09-2014, 06:21 PM   #1
mathandyou
Moderator
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 557
Thanks: 259
Thanked 402 Times in 216 Posts
Kiểm tra đội tuyển Chuyên Lương Thế Vinh,Đồng Nai

CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI

Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :
$$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$
Xét dãy $(y_n)$ như sau :
$$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$
Tính $\lim y_n$.

Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
$$p^{q+1}+q^{p+1}$$
là một số chính phương.

Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.
1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.
2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.

Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Xét cho cùng, phần thưởng cao quý nhất mà công việc mang lại không phải là thứ bạn nhận được, mà nó vẽ nên chân dung con người bạn ra sao.

[Only registered and activated users can see links. ]
mathandyou is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to mathandyou For This Useful Post:
davidsilva98 (07-09-2014), DenisO (06-09-2014), greg_51 (07-09-2014), Juliel (06-09-2014), nguyentatthu (07-09-2014), thaygiaocht (06-09-2014), wangyoo (06-09-2014)
Old 06-09-2014, 08:09 PM   #2
BlackSelena
+Thành Viên+
 
BlackSelena's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Bài gởi: 40
Thanks: 22
Thanked 18 Times in 14 Posts
Bài 3 (giải sai, đang chỉnh lại):
Kí hiệu $x := -x$ là thay $x$ bởi $-x$
Dễ thấy $f$ đơn ánh
Giờ cho $y:= - x$ thì có $f$ toàn ánh. Vậy $f$ song ánh.
Tồn tại $t \in \mathbb{R}$ để $f(t) = 0$.
Từ giả thiết (gọi là (1) ), cho $y := 0 \Rightarrow f(f(x)) + f(x) = 2x (2)$
Tr0ng (2), cho $x:= t \Rightarrow f(0) = 2t$
Tr0ng (1), cho $y:= -x \Rightarrow f(f(x) + x) = 2x - 2t$
Thay tiếp $x:= x+t \Rightarrow f( f(x+t) + x +t )=2x$
Cũng lại tr0ng (1), $x := f(x+t); y:= x+t$
$\Rightarrow f( f( f(x+t) -x-t) ) + f( f(x+t)+x+t)=2x$
$\Rightarrow f(f(f(x+t) - x -t )) = 0 = f(t)$, kết hợp $f$ là song ánh ta được $t = f(f(x+t))-x-t$
Cơ mà theo $(2)$ (sau khi thay $x:= x+t$) thì ta được $t=x+t-f(x+t)$
$\Rightarrow f(x) = x-t$ thử lại chắc ra được $t = 0$
______________________
Bài 4:
a,Dễ thấy $\angle KAD = \angle KMH$ nên ta cần chỉ ra $\dfrac{KA}{KM} = \dfrac{AD}{MH}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin KMA}{\sin KAB} = \dfrac{\sin BMC}{\sin MCB} :true$ (chú ý có $AD = BC, MH = MB$)
b, Từ câu $a$ ta có $\triangle KAM \sim \triangle KDH \Rightarrow \angle KHD = \angle KMA = \angle KCD \Rightarrow K,H,D,C:concyclic$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: BlackSelena, 06-09-2014 lúc 09:25 PM
BlackSelena is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-09-2014, 11:14 PM   #3
Nvthe_cht.
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gởi: 69
Thanks: 15
Thanked 36 Times in 24 Posts
Cách của mình cho bài này

------------------------------
Câu dãy là câu cho điểm.
Sai phân:
$\frac{1}{x_i+2}=\frac{1}{x_i+1}-\frac{1}{x_{i+1}+1}$
------------------------------
Xin lỗi các bạn, câu hàm tớ thế $x$ bởi $f(x)$ bị nhầm~
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: mathandyou, 07-09-2014 lúc 11:06 AM Lý do: Tự động gộp bài
Nvthe_cht. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-09-2014, 12:00 PM   #4
davidsilva98
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
Bài gởi: 9
Thanks: 16
Thanked 9 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi mathandyou View Post
CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI


Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q) $ thỏa mãn

$p^{q+1}+q^{p+1} $
là một số chính phương.
Nếu $p,q $ cùng chẵn thì $p=q=2 $ (thỏa đề bài)

Đặt $p^{q+1}+q^{p+1}=x^{2} $ với $\left ( x\in N \right ) $

Nếu $p,q $ cùng lẻ thì $p^{q+1}\equiv q^{p+1}\equiv 1(mod 4)\Rightarrow x^{2}\equiv 2(mod4) $

Điều này mâu thuẫn vì số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Nếu $p,q $ khác tính chẵn lẻ. Do vai trò $p,q $ như nhau nên giả sử $q $ chẵn và $p $ lẻ

Suy ra $q=2 $ và $p=2k+1 $

Ta lại có:
$p^{3}+2^{p+1}=x^{2}\Leftrightarrow p^{3}=x^{2}-2^{2k+2}\Leftrightarrow (x+2^{k+1})(x-2^{k+1})=p^{3} $

Do $x+2^{k+1}> x-2^{k+1} $ nên ta xét hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1. $x+2^{k+1}=p^{2}\Rightarrow x-2^{k+1}=p\Rightarrow p(p-1)=2^{k+2} $

Do $p $ lẻ nên $p=1 $ và $p-1=2^{k+2} $ (vô lý)

* Trường hợp 2. $x+2^{k+1}=p^{3}\Rightarrow x-2^{k+1}=1\Rightarrow p^{3}-1=2^{k+2}\Rightarrow (p-1)(p^{2}+p+1)=2^{k+2} $

Do $p^{2}+p+1 $ lẻ nên $p^{2}+p+1=1 $ (vô lý)

Vậy $(p,q)=(2,2) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
davidsilva98 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to davidsilva98 For This Useful Post:
greg_51 (07-09-2014), Nvthe_cht. (07-09-2014), thaygiaocht (09-09-2014)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:04 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 54.70 k/60.45 k (9.50%)]