|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
30-09-2014, 05:19 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 20 Thanks: 6 Thanked 12 Times in 4 Posts | Đề thi chọn đội tuyển PTNK 2014 img034.jpg Mời mọi người Mình là mình nát rồi |
The Following 6 Users Say Thank You to conmeolatui For This Useful Post: | chelseaMS (03-10-2014), HoangHungChels (30-09-2014), Juliel (30-09-2014), thaygiaocht (30-09-2014), trandaiduongbg (13-05-2015), tson1997 (30-09-2014) |
30-09-2014, 06:53 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Đến từ: K46 T1 chuyên SP Bài gởi: 46 Thanks: 42 Thanked 51 Times in 24 Posts | Bài 3: Tìm tất cả $f: N^* \rightarrow N^*$ : $f(\frac{f(n)}{n})=n^2$ Giải: Từ giả thiết ta suy ra $f(n) \vdots n,\forall n \in N^*$ Đặt $m=f(n)$,ta có: $m \vdots n$ và $f(\frac{m}{n}) = n^2 \Rightarrow f(\frac{n^3}{m})=f(\frac{f(\frac{m}{n})}{\frac{m}{ n}})$ $= (\frac{m}{n})^2 \Rightarrow \frac{m^2}{n^2} \vdots \frac{n^3}{m} \Rightarrow m^3 \vdots n^5$ Như vậy,bằng quy nạp,ta sẽ chứng minh được rằng với 2 dãy: $a_n$;$b_n$ thỏa mãn: $a_0=b_0=1$;$a_1=3;b_1=1$ $a_{k+1}=2a_{k-1}+b_k$ ; $b_{k+1}=2b_{k-1}+a_k$ thì: $$f(\frac{m^{a_{2k}}}{n^{b_{2k}}})=(\frac{n^{a_{2k-1}}}{m^{b_{2k-1}}})^2$$ và $$ f(\frac{n^{a_{2k+1}}}{m^{b_{2k+1}}})=(\frac{m^{a_{ 2k}}}{n^{b_{2k}}})^2$$ với mọi k tự nhiên Như vậy,ta luôn có: $n^{2a_{2k-1}+b_{2k}}$ $\vdots m^{2b_{2k-1}+a_{2k}}$ hay $ n^{a_{2k+1}} \vdots m^{b_{2k+1}}, \forall k \in N$ tương tự $m^{a_{2k}} \vdots n^{b_{2k}},\forall k \in N $ Xét p là ước nguyên tố bất kì của n thì ta có p cũng là ước của m Ta có : $$ \frac{b_{2k}}{a_{2k}} \leq \frac{V_p(m)}{V_p(n)} \leq \frac{a_{2k+1}}{b_{2k+1}} ,\forall k \in N $$ (**) Ta sẽ cmr $lim \frac{b_{2k}}{a_{2k}} = 2 = lim \frac{a_{2k+1}}{b_{2k+1}} $ (k tiến đến dương vô cùng) (***) Thật vậy,ta có : $b_{n+2}=5b_n-4b_{n-2}$ $a_{n+2}=5a_n-4a_{n-2}$ Từ đây ta tính được CTTQ của $a_n$ và $b_n$ từ đây dễ dàng suy ra (***) Trong (**) cho k chạy đến dương vô cùng,ta có với mọi p nguyên tố là ước của n thì : $\frac{V_p(m)}{V_p(n)}=2$ Mặt khác,ta cũng có mọi ước nguyên tố của m đều là ước nguyên tố của n và ngược lại Vậy $m= n^2$ hay $f(n)=n^2$ $\Rightarrow f(n)=n^2 \forall n \in N^* $ thay đổi nội dung bởi: tson1997, 01-10-2014 lúc 03:50 PM Lý do: nhầm |
The Following 5 Users Say Thank You to tson1997 For This Useful Post: | DenisO (01-10-2014), einstein1996 (02-10-2014), giabao185 (02-10-2014), HoangHungChels (30-09-2014), Juliel (30-09-2014) |
30-09-2014, 09:03 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Bài gởi: 40 Thanks: 22 Thanked 18 Times in 14 Posts | Làm câu b trước câu a sau có được không nhỉ Hình vẽ Gọi $B_0, C_0$ là tiếp điểm của $(I)$ trên $AC, AB$. Kẻ tiếp tuyến $EY$ ($Y \in AB$) ($X, Z$ tương tự), thì có $YC_0^2 = YE^2 = YB.BA$ nên $Y$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$, tượng tự với $X,Z$ thì có $\overline{X,Y,Z} \perp OI$. Vậy $EC_0, FB_0$ cắt nhau tại $J'$ trên $OI$. Giờ chú ý thêm $IB_0 \perp AC, IC_0 \perp AB$ nên $EC_0$ qua $M$ và tương tự. Lại có $OM \parallel IC_0, ON \parallel IB_0$ nên $B_0C_0 \parallel MN$. Mà $C_0B_0EF$ là tứ giác nội tiếp nên $M,N,E,F$ đồng viên... Mà từ sự thẳng hàng trên cũng có $J \equiv J'$ nên $IJ$ qua $O$ cố định. |
30-09-2014, 10:19 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts | Trích:
$$\frac{b_{2k}}{a_{2k}}\leq \frac{v_p(m)}{v_p(n)}\leq \frac{a_{2k+1}}{b_{2k+1}}$$ Và phải chứng minh $\frac{a_{2k}}{b_{2k}}\rightarrow \frac{1}{2},\frac{a_{2k+1}}{b_{2k+1}}\rightarrow 2$ | |
The Following 3 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post: |
01-10-2014, 08:39 AM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Đến từ: Bình Định Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bài 3: Tìm tất cả $f: N^* \rightarrow N^*$ : $f(\frac{f(n)}{n})=n^2$ Giải: Từ giả thiết ta suy ra $f(n) \vdots n,\forall n \in N^*$ Đặt $n.m=f(n)$,thay vào đề ta có $m=n$ Vậy $f(n)=n^2$ ------------------------------ Trích:
thế vào đề bài ta được m=n Vậy $f(n)=n^2$ Em làm vậy không biết đúng ko? thay đổi nội dung bởi: phuocbach, 01-10-2014 lúc 08:49 AM Lý do: Tự động gộp bài | |
01-10-2014, 05:11 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Bài hình mình thấy ý a dễ hơn và gợi ý hướng giải cho ý b. a) Dựng các điểm như hình vẽ. Rõ ràng $M, Z, E; N, Y, F$ thẳng hàng. Ta cần $AI \bot MN.$ Điều này đúng do $NA^2-MA^2=NY.NF-MZ.ME=NI^2-MI^2. $ Hình vẽ b) Câu b sau khi dùng Menelaus ta chỉ cần chỉ ra $OM=ON.$ Điều này hiển nhiên đúng theo tính chất tam giác có các cặp cạnh song song. Hình vẽ __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 01-10-2014 lúc 09:41 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | conmeolatui (01-10-2014), quocbaoct10 (01-10-2014) |
02-10-2014, 12:13 AM | #7 | ||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2014 Bài gởi: 2 Thanks: 6 Thanked 1 Time in 1 Post | Bài 1 Trích:
Mình làm thế này không biết có ốn không? Trích:
thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 02-10-2014 lúc 11:59 AM Lý do: Tự động gộp bài | ||
The Following User Says Thank You to luuvanthai For This Useful Post: | Juliel (02-10-2014) |
02-10-2014, 05:13 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 20 Thanks: 6 Thanked 12 Times in 4 Posts | Mời mọi người img035.jpg |
The Following 2 Users Say Thank You to conmeolatui For This Useful Post: | Juliel (02-10-2014), thaygiaocht (02-10-2014) |
02-10-2014, 08:36 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Đến từ: K46 T1 chuyên SP Bài gởi: 46 Thanks: 42 Thanked 51 Times in 24 Posts | Thôi thì mình cứ làm bài hình trước cho nhàn Kẻ đường kính AR của (I) Áp dụng định lý con bướm ta suy ra Q;B;R thẳng hàng hay $\widehat{AQB}=90^o$ CMTT: $\widehat{APC}=90^o$ Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC,Ta có H thuộc $(AQB)$ và H thuộc $APC$ Dễ có $\widehat{ABQ}=\widehat{ACP}$ $\Rightarrow \widehat{PHQ}=\widehat{PHA}+\widehat{AHQ} = \widehat{ABQ}+\widehat{ACP}= 2.\widehat{ACP}=sđ AP+sđ NR)=\widehat{NIR}+\widehat{PIA} = \widehat{PIQ}$ Vậy P;I;H;Q đồng viên Ta có PQ;tiếp tuyến tại A của (I);BC lần lượt là trục đẳng phương của (HIPQ) với (I);(AHI) với (I);(AHI) với (HIPQ) Vậy K thuộc BC (đpcm) |
The Following 2 Users Say Thank You to tson1997 For This Useful Post: | falcaono1 (02-10-2014), luuvanthai (03-10-2014) |
02-10-2014, 10:46 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts | Bài đầu tiên của ngày 2. Lời giải : 1) Đặt $u_n=\log_{2014}(x_n)$ thì ta thu được dãy $(u_n)$ như sau : $$\left\{\begin{matrix} u_0=0,u_1=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}u_{n-1} \end{matrix}\right.$$ Từ đó tìm được : $$u_n=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{5}.\left ( \dfrac{-2}{3} \right )^n$$ Dễ thấy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n=\dfrac{3}{5}$. Từ đó được : $$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} x_n=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}(2014^{u_n})=2014^{3/5}$$ 2) Ta tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho với mỗi $n$ thì : $$a=(x_n)^k=2014^{\frac{3k.(3^n-(-2)^n)}{5.3^n}}$$ là một số nguyên. Muốn vậy thì cần tìm $k$ nhỏ nhất để $\dfrac{3k.(3^{n}-(-2)^n)}{5.3^n}\in \mathbb{Z}$. Nếu $n$ lẻ thì $3^n-(-2)^n=3^n+2^n\;\vdots\; 5$. Cũng dễ thấy $\gcd\left ( \dfrac{3^n+2^n}{5},3^n \right )=1$ nên ta được $3^n\mid 3k$, và số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều này là $k=3^{n-1}$. Nếu $n$ chẵn thì $3^n-2^n\equiv (-2)^n-2^n=0\;\pmod5$ và tương tự như trên ta cũng tìm được $k=3^{n-1}$. Do đó số $k$ nhỏ nhất cần tìm để $a=(x_n)^k$ nguyên ứng với mỗi $n$ là $k=3^{n-1}$. Vấn đề còn lại của bài toán là ta đi tìm nghiệm nguyên của phương trình $$a^3+b^3=2014^n \Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=2014^n\;\;\;(1)$$ Trong đó $n$ là số nguyên nhỏ nhất để tồn tại các số $a,b$ nguyên dương thỏa $(1)$. Gỉa sử $(1)$ có nghiệm nguyên $(a,b)$ ứng với $n$ nhỏ nhất. Trường hợp 1 : Nếu mà $\gcd(a+b,a^2-ab+b^2=1$ : Chú ý là $a^2-ab+b^2 \geq ab+1 >a+b$ và $(a+b)^2>a^2-ab+b^2$ nên ta suy ra được : $$\left\{\begin{matrix} a+b=19^n\\ a^2-ab+b^2=106^n \end{matrix}\right.$$ Khử đi ẩn $b$ ta được : $$3a^2-3a.19^n+19^{2n}-106^n=0$$ Biểu thức $\Delta =(3.19^n)^2-4.3(19^{2n}-106)=-3(19^{2n}-4.106^n)$ Nhưng rõ ràng $\Delta <0$ với $n>1$, không tồn tại $a$ Trường hợp 2 : Nếu $\gcd(a+b,a^2-ab+b^2) >1$ Ta sẽ khả năng đại diện cho trường hợp này là : $$\left\{\begin{matrix} a+b=53^p.A\\ a^2-ab+b^2=53^q.B \end{matrix}\right.$$ Trong đó $A,B \in \mathbb{N}$ và $AB=38^n$. Ta có : $$53\mid (a+b)^2-(a^2-ab+b^2)=3ab$$ Kết hợp với $53\mid a+b$ ta được $53\mid a$ và $53\mid b$. Như vậy ta sẽ đặt $a=53^x.k,b=53^y.l$ với $53\nmid k,l$ . Có thể giả sử $x>y$.Thay vào phương trình ban đầu : $$53^{3x}.k^3+53^{3y}.l^3=53^{n}.38^n$$ hay $$53^{3y}(53^{3x-3y}.k^3+l^3)=53^n.38^n$$ Rõ ràng từ đây phải có ngay $3x=3y=n$. Nên ta thu được phương trình : $$k^3+l^3=38^n$$ Lập luận tương tự như trên ta cũng đưa đến được $38\mid k,38\mid l$. Từ đó có được $2014\mid a,2014\mid b$. Như vậy ta viết phương trình đã cho dưới dạng : $$2014^{n-3}=\left ( \dfrac{a}{2014} \right )^3+\left ( \dfrac{b}{2013} \right )^{3}$$ Điều này là mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $n$ do $n-3<n$. Các khả năng còn lại của trường hợp này đều tương tự. thay đổi nội dung bởi: Juliel, 03-10-2014 lúc 08:28 PM |
The Following 6 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post: | BlackSelena (03-10-2014), falcaono1 (02-10-2014), luuvanthai (03-10-2014), ohio (04-10-2014), quocbaoct10 (02-10-2014), tson1997 (03-10-2014) |
02-10-2014, 11:04 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích: Hình vẽ __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht | |
08-07-2016, 04:41 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2015 Bài gởi: 4 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bài 3: Đặt $\dfrac{f(n)}{n} = g(n)$ ($g: N* \rightarrow N*$) $\Rightarrow g(g(n)).g(n) = n^2$ Giả sử $\exists n_o \in N*: g(n_o) \ne n_o$. Ký hiệu $g^{(k)}(n) = g(g(...(g(n))...))$ ($k$ lần $g$, và quy ước $g^{(0)}(n) = n$), dễ thấy: $g^{(k+2)}(n).g^{(k+1)}(n) = (g^{(k)}(n))^2 \forall k \in N$ Xét 2 TH: $g(n_o) > n_o \Rightarrow g^{(2)}(n_o) = \dfrac{n_o^2}{g(n_o)} < n_o < g(n_o)$ Tương tự: CM được $g^{(2)}(n_o) > g^{(4)}(n_o) > ... > g^{(2k)}(n_o) > ...$ Do dãy vô hạn trên gồm các số tự nhiên giảm nên sẽ có 1 phần tử nhỏ hơn 0, vô lý. (TH còn lại CMTT) Do đó điều giả sử là sai, vậy $g(n) = n \forall n \in N* \Rightarrow f(n) = n^ \forall n \in N*$ (nhận) |
Bookmarks |
|
|