IMO 2015 - Đề thi, lời giải và kết quả đội tuyển

[tikita]

Một lời giải khác cho bài 6, mọi người xem thử!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dnqt6118]

Có lẽ kết quả ĐT Việt Nam năm nay cũng 3 HCV
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

[Only registered and activated users can see links. ]
Kết quả 1 phần của đoàn Việt Nam, bài 1 một số bạn chỉ làm được 1 nửa, bài 6 hầu như không ai làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

[Only registered and activated users can see links. ]
Theo kết quả 1 phần ở đây thì đội tuyển việt nam có kết quả khá khả quan.1 bạn làm được hết ngày 1. Tuy nhiên cũng có bạn làm ngày 1 chỉ được 6 điểm. Dự kiến thì đoàn việt nam sẽ có kết quả tương đương năm trước: 3 vàng, 2 bac, 1 đồng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Kết quả của đoàn Việt Nam: Xếp thứ 5 toàn đoàn với 2V,3B,1Đ, chúc mừng các học sinh Việt Nam. Kết quả cụ thể

Xuân Trung Vũ 7 7 7 7 6 0 34 8 98.78% Gold medal
Thế Hoàn Nguyễn 7 5 7 7 5 0 31 10 98.44% Gold medal
Anh Tài Hoàng 7 3 1 7 7 0 25 40 93.23% Silver medal
Huy Hoàng Nguyễn 4 2 7 7 1 2 23 58 90.10% Silver medal
Hải Đăng Nguyễn Tuấn 7 2 0 7 7 0 23 58 90.10% Silver medal
Việt Hà Nguyễn Thị 3 2 1 7 2 0 15 217 62.50% Bronze medal

Hoặc các bạn xem chi tiết tại: http://imo-official.org/team_r.aspx?code=VNM&year=2015
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

Đã có kết quả kì thi năm 2015
2HCV:Vũ Xuân Trung (34 điểm); Nguyễn Thế Hoàn (31 điểm)
3 HCB: Hoàng Anh Tài (25 điểm), Nguyễn Huy Hoàng (23 điểm), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (23 điểm)
1 HCĐ: Nguyễn Thị Việt Hà (15 điểm)
Cut-off năm nay HCV,HCB;HCĐ là 26,19,14
Năm nay đánh dấu kỉ lục từ trước đến giờ cho năm có điểm cut-off thấp nhất cho HCV: 26 điểm
Chúc mừng Nguyễn Thế Hoàn là người thứ 7 được 2 HCV, và là người thứ 5 của chuyên KHTN làm được điều này.
Thành viên ít tuổi nhất Vũ Xuân Trung (lớp 11) đạt số điểm cao nhất đoàn, hi vọng sẽ kiếm thêm được 1 HCV vào năm tới
Đoàn Việt Nam đứng ở vị trí thứ 5 trên 104 quốc gia tham dự, là vị trí cao nhất kể từ năm 2008 đến giờ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieubebu]

Tìm mãi mới thấy người đạt điểm tuyệt đối. Lại là một bác người gốc Tàu Zhuo Qun (Alex) Song. Bác này 5 lần vàng, 1 lần đồng (ngả mũ bái phục) .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Năm nay ai được điểm tuyệt đối thế mọi người. Mình tìm trong mấy bác tàu và hàn thì không thấy

Alex Song của Canada bạn nhé. kỉ lục 5 HCV.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duykhanhht]

Câu 2: Theo đề bài, ta đặt $ab-c=2^x, bc-a=2^y,ca-b=2^z$ , giả sử $x \ge y\ ge z$, từ đó ta có $b \ge a \ge c$. Giả sử $c \ge 4$
Có:
$\begin{cases}bc-a-ca+b=2^z(2^{y-z}-1)\\bc-a+ca-b=2^z(2^{y-z}+1)\end{cases} \\
\Leftrightarrow \begin{cases}(c+1)(b-a)=2^z(2^{y-z}-1) (1)\\(c-1)(b+a)=2^z(2^{y-z}+1)(2) \end{cases}$ .
Lấy (1) chia (2), được:
$\frac{b-a}{b+a}=\frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{c-1}{c+1} \ge \frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{1}{2} \\
\Leftrightarrow 2^{y-z} \le 2$
.TH 1: $2^{y-z}=1 \Rightarrow y=z \Rightarrow c=2$ (vô lý)
.TH 2: $2^{y-z}=2 \Rightarrow y=z+1$.
vì $y=z+1$ nên $bc-a=2ca-2b \Leftrightarrow c(b-2a)=a-2b$
Vì $c \ge 4$ nên $a-2b \ge 4(b-2a)\Leftrightarrow 3a \ge 2b$. Từ đó có $\frac{a+b}{b-a} \ge 5$.
Ta có: $\frac{c+1}{c-1} > 5.\frac{2^{y-z}-1}{2^{y+z}+1}$. Từ đấy tìm ra $c < 4$ (vô lý).
Vậy ta phải có $c \le 3$ và tìm ra được các bộ nghiệm ứng với $(a,b,c)$ là $(2,2,2), (2,3,2), (5,7,3), (6,11,2)$.

Chỗ suy ra $2^(y-z)\le 2$ hình như chưa đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Chỗ suy ra $2^(y-z)\le 2$ hình như chưa đúng.

Cảm ơn bạn. Mình sửa rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phatak12cqt]

Cảm ơn bạn. Mình sửa rồi.

cái khúc (1) chia (2) rồi nhân chuyển vế bạn nhầm rồi kìa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]