Bí ẩn lớn nhất của Toán học: Mochizuki và chứng minh khủng khiếp.

[Newmath.]

Bài này dịch hơn một năm trướ, giờ mới nhớ và đem lên đây. Một bài báo tuyệt hay về abc

[Only registered and activated users can see links. ]
------------------------------

Bí ẩn lớn nhất của Toán học:
Mochizuki và chứng minh khủng khiếp.

Một nhà Toán học Nhật Bản tuyên bố đã giải quyết được một trong những bài toán quan trọng nhất. Vấn đề là quá khó để ai đó có thể khẳng định lời giải đó là đúng hay sai.


Vào sáng ngày 30 tháng 8 năm 2012, Shinichi Mochizuki lặng lẽ đăng bốn bài báo trên trang web của mình.

Các bài báo này cực dài - tổng cộng hơn 500 trang - dày đặc các kí hiệu, là kết quả của hơn một thập kỷ làm việc đơn độc. Chúng có tiềm năng trở thành một quả bom tấn Toán học. Trong những bài báo này, Mochizuki tuyên bố đã giải quyết được Giả thuyết abc, một bài toán 27 năm tuổi trong Lý thuyết số mà không có nhà Toán học nào đến gần được với lời giải. Nếu chứng minh của ông là đúng, nó sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của Toán học thế kỷ này, và sẽ cách mạng hóa hoàn toàn việc nghiên cứu các phương trình nghiệm nguyên.

Tuy nhiên, Mochizuki đã không hề lên tiếng gì về chứng minh của ông. Là một nhà Toán học có uy tín làm việc tại Viện Nghiên cứu Toán học (RIMS) thuộc Đại học Kyoto, ông thậm chí còn không thông báo gì với các đồng nghiệp cùng chuyên ngành trên thế giới. Ông chỉ đơn giản đăng các bài báo lên trang web cá nhân, và để cho thế giới tự tìm hiểu.

Có lẽ người đầu tiên chú ý đến các bài báo này là Akio Tamagawa, một đồng nghiệp của Mochizuki tại RIMS. Giống như các nhà nghiên cứu khác, ông biết rằng Mochizuki đã làm việc về giả thuyết này trong nhiều năm, và giờ thì đã hoàn tất công việc của mình. Cùng ngày hôm đó, Tamagawa gửi email báo tin cho một trong những cộng sự của mình, một trong số đó là nhà Lý thuyết số Ivan Fesenko của Đại học Nottingham, Vương quốc Anh. Fesenko ngay lập tức tải các bài báo và bắt đầu đọc. Nhưng ông nhanh chóng cảm thấy "hoang mang". "Tôi không thể hiểu các bài báo ấy.", ông nói.

Fesenko gửi email cho một số chuyên gia hàng đầu trong lĩnh vực Hình học số học, là chuyên ngành của Mochizuki, và các bài báo này nhanh chóng được phổ biến. Chỉ trong vài ngày, các bình luận sôi nổi xuất hiện trên các blog và các forum Toán học. Nhưng đối với nhiều nhà nghiên cứu, sự phấn khích ban đầu với chứng minh này nhanh chóng chuyển thành hoài nghi. Giống như Fensenko, tất cả mọi người - kể cả những người có chuyên môn là gần nhất với Mochizuki - đã bị những bài báo này làm cho bối rối. Để hoàn thành chứng minh, Mochizuki đã phát minh ra một nhánh Toán học mới hết sức trừu tượng, ngay cả với tiêu chuẩn của Toán học thuần túy. "Đọc nó, bạn ít nhiều sẽ cảm thấy mình đang đọc một bài báo đến từ tương lai, hoặc đến từ hành tinh khác", nhà Lý thuyết số Jordan Ellenberg, làm việc ở Đại học Wisconsin - Madison, đã viết trên blog của mình vài ngày sau khi bài báo xuất hiện.

Ba năm sau, chứng minh của Mochizuki vẫn trong tình trạng lấp lửng - không bị phủ nhận và cũng không được công nhận bởi cộng đồng Toán học. Chính Mochizuki đã ước tính rằng một nghiên cứu sinh ngành Toán sẽ mất khoảng 10 năm để có thể hiểu được công trình của mình, còn Fesenko thì tin rằng ngay cả một chuyên gia về Hình học số học cũng sẽ mất khoảng 500 giờ. Cho đến nay, chỉ có bốn nhà Toán học nói rằng họ đã có thể đọc toàn bộ chứng minh này.

Bản thân Mochizuki cũng làm câu chuyện thêm phần thú vị. Cho đến nay, ông chỉ thuyết trình về chứng minh của mình ở Nhật Bản, và mặc dù thông thạo tiếng Anh, ông đã từ chối tất cả các lời mời thuyết trình về nó ở quốc gia khác. Ông không nói chuyện với các nhà báo; từ chối các yêu cầu phỏng vấn ông về chứng minh này. Mochizuki đã trả lời email từ các nhà Toán học khác và trở thành đồng nghiệp với những người đã đến thăm ông, nhưng về phương diện đại chúng, ông chỉ viết một cách rải rác các ý kiến của mình lên trang web. Trong tháng 12 năm 2014, ông đã viết rằng để hiểu được công trình của mình, thì "các nhà Toán học cần thay đổi lối tư duy đã được thiết lập trong bộ não của họ, những thứ đã phát triển trong nhiều năm". Đối với nhà Toán học Lieven Le Bruyn của Đại học Antwerp tại Bỉ, thái độ của Mochizuki mang vẻ thách thức. “Với tôi mà nói”, ông viết trên blog của mình vào đầu năm 2015, "dường như ông ấy đang xúc phạm cộng đồng Toán học".

Và giờ thì cộng đồng đó đang cố gắng giải quyết tình trạng này. Trong tháng mười hai, hội thảo đầu tiên bên ngoài châu Á về chứng minh này sẽ được tổ chức ở Oxford, Vương quốc Anh. Mochizuki không có mặt, nhưng ông được cho là sẵn sàng trả lời các câu hỏi từ hội thảo thông qua Skype. Các nhà tổ chức hy vọng rằng các cuộc thảo luận sẽ thúc đẩy nhiều nhà Toán học để đầu tư thời gian để làm quen với ý tưởng của ông - và tiến tới xử lí các vấn đề trong công trình của Mochizuki.

Trong lần chỉnh sửa mới nhất của mình, Mochizuki đã viết rằng hiện trạng lý thuyết của ông trong Hình học số học "là một mô hình thu nhỏ của hiện trạng của Toán học thuần túy trong xã hội con người." Những khó khăn mà anh gặp phải trong việc truyền đạt công trình trừu tượng của mình cho các đồng nghiệp cùng chuyên ngành cũng giống như những thách thức mà tất cả các nhà Toán học thường gặp khi cần truyền đạt công việc của họ với thế giới đại chúng rộng lớn.

Sự vĩ đại của abc.
Giả thuyết abc đề cập đến biểu thức số học có dạng a + b = c. Giả thuyết này, cái có một số phiên bản khác nhau chút ít, liên quan đến các số nguyên tố là ước số của a, b và c. Tất cả các số nguyên đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các số nguyên tố - những số mà không thể phân tích được nữa: ví dụ, 15 = 3 × 5 hoặc 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Về nguyên tắc, các thừa số nguyên tố của a và b không liên quan gì với các thừa số nguyên tố của tổng của chúng, là c. Nhưng giả thuyết abc liên kết chúng lại với nhau. Một cách sơ lược, nó nói rằng nếu a và b có nhiều ước số nguyên tố nhỏ, thì c chỉ có một số ít ước nguyên tố là những số lớn.

Dự đoán này có lẽ được Toán học người Pháp Joseph Oesterlé phát biểu lần đầu vào năm 1985, trong một cuộc thảo luận khá ngẫu hứng về một lớp các phương trình đặc biệt trong một bài giảng của ông ở Đức. Trong số thính giả có David Masser, một nhà lý thuyết số tại Đại học Basel ở Thụy Sĩ. Masser đã nhận ra tầm quan trọng của giả thuyết này, và sau đó công bố nó ở một dạng tổng quát hơn. Giả thuyết này bây giờ thuôc về cả hai, và thường được gọi là giả thuyết Oesterlé-Masser.

Một vài năm sau đó, Noam Elkies, một nhà Toán học tại Đại học Harvard ở Cambridge, Massachusetts, nhận ra rằng giả thuyết abc, nếu đúng, sẽ có tác động sâu sắc đối với việc nghiên cứu các phương trình nghiệm nguyên - còn được gọi là các phương trình Diophantine, đặt theo tên nhà Toán học cổ Hy Lạp là Diophantus, người đầu tiên nghiên cứu các phương trình này.

Elkies đã chỉ ra rằng chứng minh giả thuyết abc sẽ lập tức giải quyết một số lượng cực lớn các phương trình Diophantine nổi tiếng hiện đang để ngỏ. Đó là vì nó sẽ thiết lập một cách tường minh các giới hạn về độ lớn của các nghiệm. Ví dụ, từ giả thuyết abc có thể suy ra rằng tất cả các nghiệm của một phương trình phải nhỏ hơn 100. Để tìm những nghiệm đó, tất cả những gì ta phải làm là thay các số 0-99 vào phương trình rồi kiểm tra xem nó có phải là nghiệm không. Ngược lại, nếu không có abc, sẽ có vô hạn số cần kiểm tra [và do đó không thực hiện được].

Công trình của Elkies cho thấy giả thuyết abc có thể vượt mặt đột phá quan trọng nhất trong lịch sử của phương trình Diophantine: Chứng minh một giả thuyết được thiết lập vào năm 1922 bởi nhà Toán học Mỹ Louis Mordell, nội dung nói rằng phần lớn các phương trình Diophantine hoặc là không có nghiệm, hoặc chỉ có một số hữu hạn nghiệm mà thôi. Giả thuyết này đã được chứng minh vào năm 1983 bởi nhà Toán học người Đức là Gerd Faltings, người khi đó mới 28 tuổi và ba năm sau sẽ được trao một huy chương Fields, giải thưởng Toán học danh giá nhất, vì công trình này. Nhưng nếu abc là đúng, không những bạn sẽ biết phương trình có bao nhiêu nghiệm, Faltings nói, "bạn còn có thể liệt kê tất cả chúng".

Ngay sau khi chứng minh giả thuyết Mordell, Faltings bắt đầu giảng dạy tại Đại học Princeton ở New Jersey - và không lâu sau đó, con đường của ông sẽ gặp gỡ Mochizuki.

Sinh năm 1969 tại Tokyo, Mochizuki đã sống nhiều năm ở Hoa Kỳ, nơi gia đình ông chuyển đến khi ông còn là một đứa trẻ. Mochizuki theo học tại một trường trung học danh tiếng ở New Hampshire, và với tài năng sớm bộc lộ của mình, ông trở thành một sinh viên khoa Toán của đại học Princeton khi mới 16 tuổi. Tại đây, ông nhanh chóng trở thành huyền thoại vì sự thông minh của mình, và lập tức được chuyển lên thành nghiên cứu sinh.

Những người biết Mochizuki mô tả ông như một nhân vật của những thói quen cùng với một khả năng tập trung làm việc siêu phàm. "Khi còn là sinh viên, ông chỉ ngủ và làm việc," Minhyong Kim, một nhà Toán học tại Đại học Oxford, người quen biết Mochizuki khi còn ở Princeton nói. Sau khi tham dự một cuộc hội thảo hoặc một seminar, các nhà nghiên cứu và các sinh viên thường ra ngoài uống bia cùng nhau - nhưng Mochizuki thì không, Kim nhớ lại. "Anh ấy không phải là người nhút nhát, nhưng anh ấy quá tập trung vào Toán học."

Faltings là thầy hướng dẫn Mochizuki làm luận án cử nhân và tiến sĩ, và ông đã thấy rằng Mochizuki là ngưòi xuất chúng. "Rõ ràng là anh ta là một trong những người nổi bật," ông nói. Nhưng là một sinh viên của Faltings không bao giờ dễ chịu. "Faltings đứng đầu danh sách những người khắc nghiệt," Kim nhớ lại. “Ông sẽ phát hiện ngay ra những sai lầm và lập tức công kích. Khi nói chuyện với ông ấy, thậm chí các nhà Toán học danh tiêng cũng thường nghe thấy giọng điệu lo lắng từ cổ họng của họ.”

Nghiên cứu của Faltings có ảnh hưởng rất lớn đến nhiều nhà lý thuyết số trẻ tuổi tại các trường đại học ở bờ Đông nước Mỹ. Lĩnh vực chuyên môn của ông là Hình học đại số, là lĩnh vực mà từ năm 1950 đã được Alexander Grothendieck nâng lên mức trừu tượng và lý thuyết rất cao. Grothendieck thường được mô tả như là nhà Toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XX. "So với Grothendieck," Kim nói, "Faltings không quan tâm nhiều đến khía cạnh triết học của Hình học đại số." Phong cách Toán học của ông đòi hỏi "một lượng lớn các kiến thức trừu tượng - nhưng mục tiêu hướng đến là những bài toán cụ thể. Công trình của Mochizuki về abc cũng giống như vậy".

Một trí tuệ đơn độc.
Sau khi nhận bằng tiến sĩ, Mochizuki làm việc hai năm tại Đại học Harvard rồi chuyển về quê hương Nhật Bản của ông vào năm 1994, ở tuổi 25, để giữ một vị trí chính thức tại RIMS. Mặc dù đã sống nhiều năm tại Hoa Kỳ, "theo một cách nào đó, ông ấy không hợp với văn hóa Mỹ ", Kim nói. Và, ông nói thêm, một cậu bé có năng khiếu Toán học dễ cảm thấy cô độc khi lớn lên trong một quốc gia khác. "Tôi nghĩ ông ấy đã phải chịu đựng một chút."

Mochizuki thỏa sức nghiên cứu tại RIMS, nơi không đòi hỏi các thành viên phải giảng dạy các lớp ở bậc đại học. "Ông đã có thể theo đuổi các nghiên cứu của riêng của mình trong 20 năm mà không bị các xáo trộn bên ngoài làm ảnh hưởng," Fesenko nói. Năm 1996, ông tăng uy tín quốc tế của mình khi giải quyết thành công một giả thuyết của Grothendieck; và vào năm 1998, ông được mời báo cáo tại Đại hội Toán học thế giới tổ chức tại Berlin – mà trong cộng đồng Toán học, việc này mang đến danh tiếng cho người được mời.

Nhưng ngay khi có được uy tín trong cộng đồng, ông lại tách mình ra khỏi những dòng chính trong Toán học. Công trình của ông lúc này đã ở một mức trừu tượng ghê gớm, và ông đã viết các bài báo rất khó hiểu ngay cả với những người cùng chuyên ngành. Đầu những năm 2000, ông ngừng tham dự các cuộc hội thảo quốc tế, và các đồng nghiệp nói rằng ông hiếm khi rời khỏi Kyoto nữa. "Cần phải có một thứ đặc biệt giống như sự cuồng tín để có thể tập trung làm việc trong nhiều năm mà không cần các cộng sự," nhà lý thuyết số Brian Conrad của Đại học Stanford nói.

Mochizuki vẫn giữ liên lạc với các nhà Lý thuyết số đồng nghiệp, những người biết rằng ông đang cố gắng giải quyết abc. Ông không có đối thủ cạnh tranh: hầu hết các nhà Toán học khác đều tránh xa bài toán này, vì sự phức tạp của nó. Đến đầu năm 2012, bắt đầu lan ra các tin đồn rằng Mochizuki đã tiến gần đến lời giải cho abc. Sau đó là tin tức đến trong tháng Tám: ông đã đăng các bài báo của mình lên trang web cá nhân.

Tháng tiếp theo, Fesenko trở thành người đầu tiên từ bên ngoài Nhật Bản thảo luận với Mochizuki về công trình mà ông đã lặng lẽ công bố. Fesenko là đã tới thăm Tamagawa, vì vậy ông cũng đến gặp Mochizuki. Hai người gặp nhau vào ngày thứ bảy trong văn phòng Mochizuki, một căn phòng rộng rãi có tầm nhìn ngay gần núi Daimonji cùng với sách báo tài liệu được sắp xếp gọn gàng. Đó là "văn phòng ngăn nắp nhất của một nhà Toán học mà tôi từng thấy", Fesenko nói. Khi hai nhà Toán học ngồi trong ghế sofa bọc da, Fesenko liên tục đặt các câu hỏi về công trình của Mochizuki và những gì có thể đạt được trong các công trình tiếp theo.

Fesenko nói rằng ông đã cảnh báo Mochizuki nên rút kinh nghiệm từ trường hợp của một nhà Toán học khác: Nhà Tôpô học người Nga Grigori Perelman, người đã trở nên nổi tiếng vào năm 2003 khi giải quyết Giả thuyết Poincaré, một thách thức tồn tại 100 năm, và sau đó từ bỏ Toán học và xa lánh bạn bè, đồng nghiệp cũng như cả thế giới bên ngoài. Fesenko biết Perelman, và thấy rằng tính cách của hai nhà Toán học này rất khác nhau. Trong khi Perelman được biết đến với các kỹ năng xã hội vụng về của mình (đã để mặc cho móng tay của mình mọc dài mà không cắt), Mochizuki được mô tả là ăn nói lưu loát và thân thiện - nếu ta không đề cập đến cuộc sống cá nhân của ông khi đang thảo luận.

Thông thường, sau khi một chứng minh quan trọng được công bố, các nhà Toán học sẽ đọc công trình đó - thường là dài một vài trang - và có thể hiểu được chiến lược chung. Thỉnh thoảng, chứng minh là dài hơn và phức tạp hơn, và các chuyên gia có thể phải mất vài năm để kiểm ta trước khi khẳng đinh rằng nó là đúng. Công trình của Perelman về giả thuyết Poincare được công nhận theo cách này. Ngay cả trong trường hợp công trình rất trừu tượng của Grothendieck, các chuyên gia vẫn có thể liên hệ các ý tưởng mới mẻ của ông đến các đối tượng Toán học quen thuộc với họ. Và đến khi các vấn đề trong đó được hiểu rõ thì một tạp chí mới công bố bài báo.

Nhưng hầu hết những người tìm hiểu chứng minh của Mochizuki đều cảm thấy bối rối. Một số người đã sửng sốt bởi ngôn ngữ bao quát - gần giống như là sấm truyền - mà Mochizuki sử dùng để trình bày lý thuyết mới của mình: ông thậm chí còn được gọi là lĩnh vực mà ông đã tạo ra là “hình học phổ dụng cốt yếu”. "Nói chung, các nhà Toán học thường khiêm tốn, không tuyên bố rằng những gì họ đang làm là một cuộc cách mạng cho toàn bộ vũ trụ," Oesterlé, làm việc tại Đại học Pierre và Marie Curie ở Paris, là người đã có một chút tiến bộ trong việc kiểm tra chứng minh này, nói như vậy.

Lý do là công trình của Mochizuki hoàn toàn khác biệt so với các công trình Toán học trước đó. Ông cố gắng xây dựng lại Toán học, bắt đầu từ nền tảng của nó trong Lý thuyết tập hợp (chẳng hạn như các giản đồ Venn quen thuộc). Và hầu hết các nhà Toán học đã phải đầu tư nhiều thời gian để hiểu được công trình này. Họ làm điều đó với một thái độ miễn cưỡng, bởi vì không có một ích lợi rõ ràng nào đang chờ đợi phía trước: Chẳng có gì đảm bảo cỗ máy lý thuyết mà Mochizuki đã phát minh có thể được sử dụng để làm ra những thứ có ích. "Tôi đã cố gắng thử đọc một số thứ trong các bài báo đó nhưng rồi, tại một số điểm, tôi đã bỏ cuộc. Tôi không hiểu anh ta đang làm gì," Faltings nói.

Fesenko đã nghiên cứu cẩn thận công trình của Mochizuki trong suốt một năm qua, cũng đã đến thăm Mochizuki tại RIMS một lần nữa vào mùa thu năm 2014 và nói rằng hiện giờ ông đang kiểm tra chứng minh này. (Ba nhà Toán học khác, những người nói rằng họ đã thẩm định nó cũng đã dành khá nhiều thời gian đến làm việc cùng Mochizuki tại Nhật Bản). Nội dung chủ đạo của hình học phổ dụng cốt yếu, như Fesenko mô tả, là ta phải xem xét toàn bộ các con số theo một ánh sáng khác –để phép toán cộng sang một bên và nhìn phép toán nhân như một cái gì đó có cấu trúc dễ uốn nắn và làm biến dạng. Phép toán nhân thông thường lúc này sẽ chỉ là một trường hợp đặc biệt trong họ các cấu trúc đó, giống như một vòng tròn là một hình elip đặc biệt [trong họ elip]. Fesenko nói rằng Mochizuki so sánh mình với nhà Toán học vĩ đại Grothendieck - và đó là không phải là điều gì lố bịch. "Chúng ta đã có Toán học trước công trình của Mochizuki - và bây giờ chúng ta có Toán học sau công trình Mochizuki của" Fesenko nói.

Nhưng cho đến nay, những người đã hiểu rõ công trình này đã rất khó khăn khi cố gắng trình bày nó với những người khác. "Tất cả những người mà tôi biết rằng đang dần hiểu công trình này đều là những người đáng tin cậy, nhưng sau đó họ trở thành những người không có khả năng trình bày về nó", một nhà Toán học muốn giấu tên đã nói như vậy. Tình trạng này, ông nói, gợi cho ông nhớ tới vở hài kịch Monty Python về một nhà văn đã viết câu truyện hài hước nhất thế giới. Bất kỳ ai đọc nó đều chết vì cười nên không bao giờ có thể giới thiệu nó cho khác người khác.

Và đó là một vấn đề, Faltings nói. "Có ý tưởng tốt là chưa đủ: Bạn phải có khả năng giải thích cho những người khác hiểu.” Faltings nói rằng nếu Mochizuki muốn công trình của mình được thừa nhận, thì ông ta nên giao tiếp nhiều hơn. "Mọi người có quyền được lập dị nếu họ muốn," ông nói. "Ông ấy không có nghĩa vụ phải đi đi du lịch nếu không muốn. Nhưng nếu ông ấy muốn được công nhận, ông ấy cần phải thỏa hiệp."

Tìm hiểu chứng minh
Đối với Mochizuki, những điều tích cực có thể bắt đầu vào cuối năm nay [2015], khi Viện Toán học Clay sẽ tổ chức một hội thảo được chờ đợi từ lâu tại Oxford. Các nhân vật hàng đầu trong lĩnh vực này dự kiến sẽ tham dự, bao gồm cả Faltings. Kim, người cùng với Fesenko là một trong những người tổ chức, nói rằng các bài giảng trong một vài ngày là không đủ để hiểu rõ toàn bộ lý thuyết. Nhưng, ông nói, "Hy vọng vào cuối hội thảo sẽ có kha khá người bị thuyết phục để tiếp tục nỗ lực hơn nữa trong việc tìm hiểu chứng minh này".

Hầu hết các nhà Toán học đều cho rằng sẽ mất nhiều năm nữa để tìm ra một số giải pháp để hiểu được công trình của Mochizuki. (Mochizuki nói rằng ông đã gửi các bài báo của ông cho một tạp chí, nơi chúng có lẽ vẫn đang được thẩm định.) Cuối cùng, các nhà Toán học hy vọng sẽ có người không chỉ thấu hiểu các công trình này, mà còn sẵn sàng làm cho nó trở nên dễ hiểu đối với những người khác - những vấn đề là, ít ai muốn trở thành người đó.

Nói chung, các nhà Toán học nghĩ rằng các bài toán trong tương lai sẽ là không phức tạp và khó đến mức này. Ellenberg chỉ ra rằng các định lý nói chung khá đơn giản để phát biểu trong các lĩnh vực Toán học mới, và các chứng minh cũng tương đối ngắn.

Câu hỏi đặt ra bây giờ là liệu chứng minh Mochizuki sẽ dần được chấp nhận, như trường hợp của Perelman, hay sẽ bị bác bỏ không thương tiếc. Một số nhà Toán học nghĩ đến trường hợp của Louis de Branges, một nhà Toán học có uy tín tại Đại học Purdue ở West Lafayette, Indiana. Năm 2004, de Branges công bố một chứng minh cho giả thuyết Riemann, là bài toán mà nhiều người coi là quan trọng nhất trong Toán học. Nhưng các nhà Toán học vẫn nghi ngờ về tuyên bố này; nhiều người nói rằng họ thấy ngán ngẩm vì các lý thuyết kì cục của ông cũng như cái cách ông trình bày chứng minh của mình. Chứng minh này cuối cùng không còn được ai quan tâm.

Ellenberg nói rằng các công trình của Mochizuki "là vô giá hoặc là vô dụng". Thậm chí nếu chứng minh giả thuyết abc của Mochizuki là không trọn vẹn, thì các phương pháp và ý tưởng của ông vẫn có thể dần xâm nhập vào cộng đồng Toán học, và các nhà nghiên cứu có thể nhận ra rằng chúng hữu ích cho các mục đích khác. "Tôi nghĩ rằng, dựa trên hiểu biết của tôi về Mochizuki, khả năng có các ý tưởng và phương pháp Toán học thú vị hoặc quan trọng trong những tài liệu này là khá cao," Ellenberg nói.

Nhưng vẫn có nguy cơ tiêu cực, ông nói thêm. "Tôi nghĩ sẽ là không hay nếu chúng ta bỏ qua nguy cơ này. Thật đáng tiếc."
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]