Dãy các hình tròn và dãy các đa giác đều

Đỗ Minh Khoa · 25-01-2016, 09:47 PM

Gọi $\{D_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các hình tròn có dãy các bán kính là $\{R_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$, còn $\{P_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các đa giác lồi $2015$ cạnh thỏa mãn\[D_{n+1}\subset P_n\subset D_n\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Chứng minh rằng $\lim R_n=0$.

**huynhcongbang** · 27-01-2016, 03:09 AM

Bài toán rất thú vị ạ.

Em không giải chi tiết ra nhưng có ý tưởng như sau:

Xét đa giác lồi $P$ là $A_1A_2...A_{2015}$ bị chứa trong hình tròn $\Omega$ và cũng đa giác đó chứa trong nó hình tròn $\omega$.

Xét $P$ là một điểm tùy ý trong đa giác, nối $P$ với các đỉnh $A_1,A_2,...A_{2015}$ cắt $\Omega$ tại $B_1,B_2,...,B_{2015}$ theo thứ tự đó.

Suy ra ta có một đa giác mới nội tiếp trong $\Omega$ và diện tích hơn hơn $P$.

Tiếp theo, lại dựng các tiếp tuyến của $\omega$ song song với các cạnh $A_1A_2,A_2A_3,...,A_{2015}A_1$ (trong 2 tiếp tuyến thì chọn cái gần với cạnh tương ứng hơn). Các tiếp tuyến cắt nhau tạo đa giác $C_1C_2...C_{2015}$ và dễ thấy rằng đa giác này ngoại tiếp $\omega$ và có diện tích nhỏ hơn $P$.

Từ các nhận xét đó, ta thấy rằng chỉ cần giải quyết được bài toán sau thì bài toán ban đầu sẽ kết thúc:

Cho đa giác $Q$ có $2015$ cạnh, nội tiếp trong đường tròn $\Omega$ bán kính $R$ và ngoại tiếp đường tròn $\omega$, bán kính $r$. Xác định một hằng số dương $k < 1$ sao cho $\dfrac{r}{R} \le k$ với mọi đa giác $Q$ như trên.

Trong trường hợp tam giác, ta có $k = \frac{1}{2}$. Cái này thì quen thuộc rồi.
Trong trường hợp tứ giác, ta có $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$, chứng minh không dễ, phải dùng định lý Fuss. Đặt $d=OI$ là khoảng cách giữa 2 tâm thì có $$\dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2} = \dfrac{1}{r^2}.$$
Trường hợp đa giác $2015$ cạnh thì em cũng tin là số $k$ đó tồn tại, nhưng chưa nghĩ kỹ ra được, có thể sử dụng lượng giác.

25-01-2016, 09:47 PM	#1
Đỗ Minh Khoa +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2016 Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 4 Times in 2 Posts	Dãy các hình tròn và dãy các đa giác đều Gọi $\{D_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các hình tròn có dãy các bán kính là $\{R_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$, còn $\{P_n\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là dãy các đa giác lồi $2015$ cạnh thỏa mãn\[D_{n+1}\subset P_n\subset D_n\;\forall\,n\in\mathbb Z^+\]Chứng minh rằng $\lim R_n=0$.

27-01-2016, 03:09 AM	#2
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Bài toán rất thú vị ạ. Em không giải chi tiết ra nhưng có ý tưởng như sau: Xét đa giác lồi $P$ là $A_1A_2...A_{2015}$ bị chứa trong hình tròn $\Omega$ và cũng đa giác đó chứa trong nó hình tròn $\omega$. Xét $P$ là một điểm tùy ý trong đa giác, nối $P$ với các đỉnh $A_1,A_2,...A_{2015}$ cắt $\Omega$ tại $B_1,B_2,...,B_{2015}$ theo thứ tự đó. Suy ra ta có một đa giác mới nội tiếp trong $\Omega$ và diện tích hơn hơn $P$. Tiếp theo, lại dựng các tiếp tuyến của $\omega$ song song với các cạnh $A_1A_2,A_2A_3,...,A_{2015}A_1$ (trong 2 tiếp tuyến thì chọn cái gần với cạnh tương ứng hơn). Các tiếp tuyến cắt nhau tạo đa giác $C_1C_2...C_{2015}$ và dễ thấy rằng đa giác này ngoại tiếp $\omega$ và có diện tích nhỏ hơn $P$. Từ các nhận xét đó, ta thấy rằng chỉ cần giải quyết được bài toán sau thì bài toán ban đầu sẽ kết thúc: Cho đa giác $Q$ có $2015$ cạnh, nội tiếp trong đường tròn $\Omega$ bán kính $R$ và ngoại tiếp đường tròn $\omega$, bán kính $r$. Xác định một hằng số dương $k < 1$ sao cho $\dfrac{r}{R} \le k$ với mọi đa giác $Q$ như trên. Trong trường hợp tam giác, ta có $k = \frac{1}{2}$. Cái này thì quen thuộc rồi. Trong trường hợp tứ giác, ta có $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$, chứng minh không dễ, phải dùng định lý Fuss. Đặt $d=OI$ là khoảng cách giữa 2 tâm thì có $$\dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2} = \dfrac{1}{r^2}.$$ Trường hợp đa giác $2015$ cạnh thì em cũng tin là số $k$ đó tồn tại, nhưng chưa nghĩ kỹ ra được, có thể sử dụng lượng giác. __________________ Sự im lặng của bầy mèo