|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
12-01-2013, 11:12 AM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2013] Bài 5 - Phương trình hàm thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2013 lúc 11:46 AM |
The Following 4 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: |
12-01-2013, 11:20 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và $$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$ __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! thay đổi nội dung bởi: High high, 12-01-2013 lúc 11:32 AM |
The Following 7 Users Say Thank You to High high For This Useful Post: | bb.boy_lion (12-01-2013), hongduc_cqt (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), Mr_Pi (12-01-2013), n.v.thanh (12-01-2013), nliem1995 (12-01-2013) |
12-01-2013, 11:35 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Bài gởi: 15 Thanks: 28 Thanked 3 Times in 2 Posts | Mình nek, mà mình quên chứng minh duy nhất rồi Hình như ko có cái ở dưới. |
12-01-2013, 11:40 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG Bài gởi: 188 Thanks: 190 Thanked 80 Times in 55 Posts | Câu này chỉ ra $f(x)=2013x$ thôi mà __________________ Chuyến tàu đã dừng lại. |
12-01-2013, 11:44 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Bài gởi: 15 Thanks: 28 Thanked 3 Times in 2 Posts | |
12-01-2013, 11:56 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 155 Thanks: 130 Thanked 38 Times in 24 Posts | $y=0$ nó ra cái $xf(f^2(x)=f^3(x)$ cơ mà. |
12-01-2013, 11:58 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: No where Bài gởi: 11 Thanks: 8 Thanked 3 Times in 2 Posts | Bạn thay sai rồi kìa. $f(f^2(x))=2013^2.\sqrt{x}$ thôi. __________________ Mai tôi chết ai là người xây mộ Ai là người lặng lẽ tiễn đưa tôi |
12-01-2013, 12:01 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | ừm vậy là sai rồi __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. |
12-01-2013, 12:05 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Bài gởi: 15 Thanks: 28 Thanked 3 Times in 2 Posts | |
12-01-2013, 12:22 PM | #10 |
+Thành Viên+ | Trông thì có vẻ là 2 nhưng nếu làm kĩ chút xíu thì chỉ có 1 thôi... Đó là $f(x)=2013x. $ |
12-01-2013, 12:48 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->??? Bài gởi: 210 Thanks: 102 Thanked 179 Times in 90 Posts | Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn $$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$ Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình. Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta" __________________ Touch me touch me, don't be shy I'm in charge like a G.U.Y. I'll lay down face up this time Under you like a G.U.Y. |
12-01-2013, 01:03 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Bài gởi: 39 Thanks: 89 Thanked 5 Times in 5 Posts | |
12-01-2013, 01:15 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: 11 Toán CQB Bài gởi: 98 Thanks: 83 Thanked 69 Times in 38 Posts | Trích:
Nhớ là phải xét tiếp trường hợp f(x) vừa =2013x vừa bằng tiếp cái kia __________________ Yêu rồi | |
12-01-2013, 01:33 PM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 59 Thanks: 17 Thanked 19 Times in 13 Posts | Trích:
$f^2(x)=2013^2x $ $f^2(-x)=-2013^2x $ nên $f^2(x)+f^2(-x)=0 => f^2(x)=f^2(-x)=0 $ Vô lí với điều kiện $f(1)=2013 $ Mình làm chỗ này như vậy đó. | |
12-01-2013, 01:50 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 127 Thanks: 87 Thanked 35 Times in 22 Posts | Đây là cách làm của mình, không biết đúng hay sai nữa Thay $y=0$ được $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x) \forall x\epsilon \mathbb{R}$ $VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-y.f(f^{2}(x))-xf(f^{2}(y))$ $VP=f^{3}(x)+f^{3}(y)-f(y)f^{2}(x)-f(x)f^{2}(y)$ $\Rightarrow y.f(f^{2}(x))+xf(f^{2}(y))=f(y)f^{2}(x)+f(x)f^{2}( y)$(1) Từ $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x)$ suy ra $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} \forall x\neq 0$, thay lại vào (1) ta được: $\frac{y}{x}.f^{3}(x)+\frac{x}{y}.f^{3}(y)=f(y)f^{ 2}(x)+f(x)f^{2}(y) \forall x,y \neq0$ $\Leftrightarrow f^{2}(x).[\frac{y}{x}.f(x)-f(y)]+f^{2}(y).[\frac{x}{y}.f(y)-f(x)]=0$ $\Leftrightarrow [y.f(x)-xf(y)].[\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}]=0 \forall x,y \neq0$ *Xét trường hợp $y.f(x)-xf(y)=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}=a=const \forall x,y \neq0$ suy ra $f(x)=ax$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ $ \Rightarrow f(x)=2013x \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa mãn *Xét trường hợp $\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}=0$ $\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{x}=\frac{f^{2}(y)}{y}=b \forall x,y \neq0$, suy ra $f^{2}(x)=bx$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ hoặc $a=-2013$ suy ra $f(x)=2013\sqrt{x}$ hoặc $f(x)=-2013\sqrt{x}\forall x>0$, thử lại thấy không thỏa mãn Vậy $f(x)=2013x$ $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ là nghiệm hàm duy nhất __________________ Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai VMO 2014- Đợi mình nhé thay đổi nội dung bởi: nguoi_vn1, 12-01-2013 lúc 04:01 PM |
The Following 5 Users Say Thank You to nguoi_vn1 For This Useful Post: | luugiangnam (12-01-2013), minhtuyb (12-01-2013), starfish74 (12-01-2013), Trànvănđức (12-01-2013), tsunajudaime (12-01-2013) |
Bookmarks |
|
|