Giải tích số K54CLC-ĐHSPHN

[langtuthanhdon]

Câu 1.
a) Phát biểu và chứng minh bài toán nội suy cổ điển. Phát biểu và chứng minh sự tồn tại duy nhất đa thức nội suy.
b) Định nghĩa và nêu các tính chất của sai phân. Ứng dụng sai phân, hãy giải bài toán sau:
Cho dãy số $(x_n) $ xác định bởi:

$x_1=-a+\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{1}{p}[x_n^2+(2a+p)x_n+a^2] $

với $p\in N* $ và $a\in R $ cho trước.

Hãy tính tổng:

$S=\left[\sum\limits_{n=1}^{N_0}\right] $

với $N_0\in N $, $N_0 > 2p-1 $ và $[t] $ là phần nguyên của $t $.

Câu 2.
a) Trình bày định nghĩa hệ đa thức trực giao; giả sử $L_n(x) $ là đa thức trực giao có bậc $n $. Hãy chứng minh rằng $L_n(x) $ có đủ $n $ nghiệm đơn thực.
b) Trình bày phương pháp Gauss tính gần đúng tích phân.

Câu 3.
Xét bài toán Cauchy:$\left\{y'=\sqrt{2x+y} \\ y(0)=1 \right. $
trên $[0;0,2] $ và $h=0,1 $
Tính các giá trị gần đúng của nghiệm bài toán đã cho theo:
a) Phương pháp Euler.
b) Phương pháp RK4.
(Các tính toán lấy đến 10 chữ số sau dấu thập phân)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]